Номер 376, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 376, страница 248.

376. Решите уравнение:

1) $8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4}$;

2) $(0,75)^{x+1} = \frac{16}{9}$;

3) $\sqrt{125^{x-1}} = \sqrt[3]{25^{2-x}}$;

4) $\left(\frac{6}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216}$;

5) $2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7}$;

6) $8 \cdot 7^{2x^2-x} - 7 \cdot 8^{2x^2-x} = 0$.

1) $8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(2^3)^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{2^2}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:

$2^{-\frac{3}{x}} = 2^{-2}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели (при условии, что $x \neq 0$):

$-\frac{3}{x} = -2$

Умножим обе части на $-x$:

$3 = 2x$

$x = \frac{3}{2}$

Ответ: $x = \frac{3}{2}$

2) $(0,75)^{x+1} = \frac{16}{9}$

Преобразуем десятичную дробь 0,75 в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$(\frac{3}{4})^{x+1} = \frac{16}{9}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$. Заметим, что $16 = 4^2$ и $9 = 3^2$.

$\frac{16}{9} = \frac{4^2}{3^2} = (\frac{4}{3})^2$

Используя свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$, получаем:

$(\frac{4}{3})^2 = (\frac{3}{4})^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{3}{4})^{x+1} = (\frac{3}{4})^{-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x+1 = -2$

$x = -2 - 1$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$

3) $\sqrt{125^{x-1}} = \sqrt[3]{25^{2-x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Представим корни в виде степеней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и $\sqrt[3]{b} = b^{1/3}$.

Подставим это в уравнение:

$( (5^3)^{x-1} )^{1/2} = ( (5^2)^{2-x} )^{1/3}$

Упростим, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{\frac{3(x-1)}{2}} = 5^{\frac{2(2-x)}{3}}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части на 6:

$3 \cdot 3(x-1) = 2 \cdot 2(2-x)$

$9(x-1) = 4(2-x)$

Раскроем скобки:

$9x - 9 = 8 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$9x + 4x = 8 + 9$

$13x = 17$

$x = \frac{17}{13}$

Ответ: $x = \frac{17}{13}$

4) $(\frac{6}{5})^x \cdot (\frac{25}{36})^x = \frac{125}{216}$

Воспользуемся свойством $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ для левой части уравнения:

$(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{36})^x = \frac{125}{216}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{36} = \frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 36} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 6} = \frac{5}{6}$

Уравнение принимает вид:

$(\frac{5}{6})^x = \frac{125}{216}$

Теперь представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{6}$. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $216 = 6^3$.

$\frac{125}{216} = \frac{5^3}{6^3} = (\frac{5}{6})^3$

Подставляем обратно в уравнение:

$(\frac{5}{6})^x = (\frac{5}{6})^3$

Приравниваем показатели:

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

5) $2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7}$

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что $3^{2x} = (3^2)^x = 9^x$.

$2^x \cdot 9^x \cdot 5^x = (2 \cdot 9 \cdot 5)^x = 90^x$

Теперь уравнение выглядит так:

$90^x = 90^{3x-7}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3x - 7$

Решим линейное уравнение:

$7 = 3x - x$

$7 = 2x$

$x = \frac{7}{2}$

Ответ: $x = \frac{7}{2}$

6) $8 \cdot 7^{2x^2 - x} - 7 \cdot 8^{2x^2 - x} = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:

$8 \cdot 7^{2x^2 - x} = 7 \cdot 8^{2x^2 - x}$

Разделим обе части уравнения на $8^{2x^2 - x}$. Так как $8^{2x^2-x} > 0$ для любого $x$, это преобразование является равносильным.

$8 \cdot \frac{7^{2x^2 - x}}{8^{2x^2 - x}} = 7$

Используя свойство $\frac{a^y}{b^y} = (\frac{a}{b})^y$, получаем:

$8 \cdot (\frac{7}{8})^{2x^2 - x} = 7$

Разделим обе части на 8:

$(\frac{7}{8})^{2x^2 - x} = \frac{7}{8}$

Правую часть можно записать как $(\frac{7}{8})^1$.

$(\frac{7}{8})^{2x^2 - x} = (\frac{7}{8})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 - x = 1$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все в левую часть:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $1; -\frac{1}{2}$