Номер 379, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 379, страница 249.

379. Решите неравенство:

1) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} > 13;$

2) $5^{x+1} + 5^{x-2} < 630;$

3) $0,5^{x+3} - 0,5^{x+2} + 0,5^{x+1} < 0,375;$

4) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} > 17;$

5) $4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} \leq 228;$

6) $6 \cdot 0,5^{x+2} + 0,5^{x-3} \geq 19.$

1) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} > 13$

Приведем все степени к одному основанию и показателю. Наименьший показатель - это $x-2$.

Представим $4^x$ как $4^{x-2+2} = 4^{x-2} \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^{x-2}$.

Неравенство принимает вид:

$16 \cdot 4^{x-2} - 3 \cdot 4^{x-2} > 13$

Вынесем общий множитель $4^{x-2}$ за скобки:

$(16 - 3) \cdot 4^{x-2} > 13$

$13 \cdot 4^{x-2} > 13$

Разделим обе части на 13 (знак неравенства не меняется):

$4^{x-2} > 1$

Представим 1 как $4^0$:

$4^{x-2} > 4^0$

Так как основание степени 4 > 1, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x-2 > 0$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

2) $5^{x+1} + 5^{x-2} < 630$

Приведем степени к одному показателю $x-2$.

Представим $5^{x+1}$ как $5^{x-2+3} = 5^{x-2} \cdot 5^3 = 125 \cdot 5^{x-2}$.

Неравенство принимает вид:

$125 \cdot 5^{x-2} + 5^{x-2} < 630$

Вынесем $5^{x-2}$ за скобки:

$(125 + 1) \cdot 5^{x-2} < 630$

$126 \cdot 5^{x-2} < 630$

Разделим обе части на 126:

$5^{x-2} < \frac{630}{126}$

$5^{x-2} < 5$

Представим 5 как $5^1$:

$5^{x-2} < 5^1$

Так как основание 5 > 1, переходим к неравенству для показателей:

$x-2 < 1$

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$

3) $0.5^{x+3} - 0.5^{x+2} + 0.5^{x+1} < 0.375$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $0.5^{x+1}$.

$0.5^{x+3} = 0.5^2 \cdot 0.5^{x+1} = 0.25 \cdot 0.5^{x+1}$

$0.5^{x+2} = 0.5^1 \cdot 0.5^{x+1} = 0.5 \cdot 0.5^{x+1}$

Подставим в неравенство:

$0.25 \cdot 0.5^{x+1} - 0.5 \cdot 0.5^{x+1} + 1 \cdot 0.5^{x+1} < 0.375$

$(0.25 - 0.5 + 1) \cdot 0.5^{x+1} < 0.375$

$0.75 \cdot 0.5^{x+1} < 0.375$

Разделим обе части на 0.75:

$0.5^{x+1} < \frac{0.375}{0.75}$

$0.5^{x+1} < 0.5$

Представим 0.5 как $0.5^1$:

$0.5^{x+1} < 0.5^1$

Так как основание 0.5 < 1, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x+1 > 1$

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

4) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} > 17$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $3^{x-2}$.

$3^{x+1} = 3^{x-2+3} = 3^{x-2} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{x-2}$

$3^{x-1} = 3^{x-2+1} = 3^{x-2} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{x-2}$

Неравенство принимает вид:

$27 \cdot 3^{x-2} - 2 \cdot (3 \cdot 3^{x-2}) - 4 \cdot 3^{x-2} > 17$

$27 \cdot 3^{x-2} - 6 \cdot 3^{x-2} - 4 \cdot 3^{x-2} > 17$

Вынесем $3^{x-2}$ за скобки:

$(27 - 6 - 4) \cdot 3^{x-2} > 17$

$17 \cdot 3^{x-2} > 17$

Разделим на 17:

$3^{x-2} > 1$

$3^{x-2} > 3^0$

Так как основание 3 > 1, знак неравенства сохраняется:

$x-2 > 0$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

5) $4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} \le 228$

Приведем все степени к основанию 2.

$4^{x-2} = (2^2)^{x-2} = 2^{2(x-2)} = 2^{2x-4}$

$2^{2x-1}$

$64^{\frac{x}{3}} = (2^6)^{\frac{x}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{x}{3}} = 2^{2x}$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x-4} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} \le 228$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-4}$.

$2^{2x-1} = 2^{2x-4+3} = 2^{2x-4} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{2x-4}$

$2^{2x} = 2^{2x-4+4} = 2^{2x-4} \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^{2x-4}$

Подставляем в неравенство:

$1 \cdot 2^{2x-4} - 3 \cdot (8 \cdot 2^{2x-4}) + 5 \cdot (16 \cdot 2^{2x-4}) \le 228$

$2^{2x-4} - 24 \cdot 2^{2x-4} + 80 \cdot 2^{2x-4} \le 228$

$(1 - 24 + 80) \cdot 2^{2x-4} \le 228$

$57 \cdot 2^{2x-4} \le 228$

Разделим на 57:

$2^{2x-4} \le \frac{228}{57}$

$2^{2x-4} \le 4$

$2^{2x-4} \le 2^2$

Так как основание 2 > 1, знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 \le 2$

$2x \le 6$

$x \le 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$

6) $6 \cdot 0.5^{x+2} + 0.5^{x-3} \ge 19$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $0.5^{x-3}$.

$0.5^{x+2} = 0.5^{x-3+5} = 0.5^{x-3} \cdot 0.5^5 = 0.5^{x-3} \cdot (\frac{1}{2})^5 = 0.5^{x-3} \cdot \frac{1}{32}$

Неравенство принимает вид:

$6 \cdot (\frac{1}{32} \cdot 0.5^{x-3}) + 1 \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

Вынесем $0.5^{x-3}$ за скобки:

$(\frac{6}{32} + 1) \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

$(\frac{6}{32} + \frac{32}{32}) \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

$\frac{38}{32} \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

Разделим обе части на $\frac{38}{32}$ (или умножим на $\frac{32}{38}$):

$0.5^{x-3} \ge 19 \cdot \frac{32}{38}$

$0.5^{x-3} \ge \frac{19 \cdot 32}{19 \cdot 2}$

$0.5^{x-3} \ge 16$

Представим обе части с основанием $0.5 = \frac{1}{2}$.

$16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4} = 0.5^{-4}$

$0.5^{x-3} \ge 0.5^{-4}$

Так как основание 0.5 < 1, знак неравенства меняется на противоположный:

$x-3 \le -4$

$x \le -4 + 3$

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$