Страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

378. Решите уравнение:

1) $3^x - 2 \cdot 3^{x-2} = 7;$

2) $2^{x+1} + 2^{x-3} = 68;$

3) $7^x - \left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = 6;$

4) $4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} - 2^{x-7} = 262;$

5) $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} - 3^{x-2} + 3^{x-3};$

6) $2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}.$

1) $3^x - 2 \cdot 3^{x-2} = 7$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^x - 2 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 7$

$3^x - \frac{2}{9} \cdot 3^x = 7$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(1 - \frac{2}{9}\right) = 7$

$3^x \cdot \frac{7}{9} = 7$

Разделим обе части на $\frac{7}{9}$:

$3^x = 7 \cdot \frac{9}{7}$

$3^x = 9$

Так как $9 = 3^2$, получаем:

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $2^{x+1} + 2^{x-3} = 68$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x \cdot 2^1 + \frac{2^x}{2^3} = 68$

$2 \cdot 2^x + \frac{1}{8} \cdot 2^x = 68$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(2 + \frac{1}{8}\right) = 68$

$2^x \left(\frac{16+1}{8}\right) = 68$

$2^x \cdot \frac{17}{8} = 68$

Решим относительно $2^x$:

$2^x = 68 \cdot \frac{8}{17}$

$2^x = 4 \cdot 8$

$2^x = 32$

Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^x = 2^5$

$x = 5$

Ответ: $5$.

3) $7^x - \left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = 6$

Преобразуем второй член уравнения, используя свойство $(a^{-1})^n = a^{-n}$:

$\left(\frac{1}{7}\right)^{1-x} = (7^{-1})^{1-x} = 7^{-1(1-x)} = 7^{x-1}$

Уравнение принимает вид:

$7^x - 7^{x-1} = 6$

$7^x - \frac{7^x}{7} = 6$

Вынесем $7^x$ за скобки:

$7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$

$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$

Решим относительно $7^x$:

$7^x = 6 \cdot \frac{7}{6}$

$7^x = 7$

$7^x = 7^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $4^{\frac{x}{2}} + 2^{x-5} - 2^{x-7} = 262$

Приведем все члены к основанию 2:

$4^{\frac{x}{2}} = (2^2)^{\frac{x}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 2^x$

Уравнение принимает вид:

$2^x + 2^{x-5} - 2^{x-7} = 262$

Используем свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x + \frac{2^x}{2^5} - \frac{2^x}{2^7} = 262$

$2^x + \frac{2^x}{32} - \frac{2^x}{128} = 262$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{32} - \frac{1}{128}\right) = 262$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$2^x \left(\frac{128}{128} + \frac{4}{128} - \frac{1}{128}\right) = 262$

$2^x \cdot \frac{131}{128} = 262$

Решим относительно $2^x$:

$2^x = 262 \cdot \frac{128}{131}$

$2^x = 2 \cdot 128$

$2^x = 256$

Так как $256 = 2^8$, получаем:

$2^x = 2^8$

$x = 8$

Ответ: $8$.

5) $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 3^{x-1} - 3^{x-2} + 3^{x-3}$

Вынесем общий множитель за скобки в левой и правой частях уравнения.

В левой части вынесем $2^{x-3}$:

$2^{x-3}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{x-3}(4+2+1) = 7 \cdot 2^{x-3}$

В правой части вынесем $3^{x-3}$:

$3^{x-3}(3^2 - 3^1 + 1) = 3^{x-3}(9-3+1) = 7 \cdot 3^{x-3}$

Уравнение принимает вид:

$7 \cdot 2^{x-3} = 7 \cdot 3^{x-3}$

Разделим обе части на 7:

$2^{x-3} = 3^{x-3}$

Разделим обе части на $3^{x-3}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = 1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то:

$x-3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $3$.

6) $2^{2x-1} + 2^{2x-3} - 2^{2x-5} = 2^{7-x} + 2^{5-x} - 2^{3-x}$

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях уравнения.

В левой части вынесем $2^{2x-5}$:

$2^{2x-5}(2^4 + 2^2 - 1) = 2^{2x-5}(16 + 4 - 1) = 19 \cdot 2^{2x-5}$

В правой части вынесем $2^{3-x}$:

$2^{3-x}(2^4 + 2^2 - 1) = 2^{3-x}(16 + 4 - 1) = 19 \cdot 2^{3-x}$

Уравнение принимает вид:

$19 \cdot 2^{2x-5} = 19 \cdot 2^{3-x}$

Разделим обе части на 19:

$2^{2x-5} = 2^{3-x}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$2x-5 = 3-x$

$2x+x = 3+5$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.

379. Решите неравенство:

1) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} > 13;$

2) $5^{x+1} + 5^{x-2} < 630;$

3) $0,5^{x+3} - 0,5^{x+2} + 0,5^{x+1} < 0,375;$

4) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} > 17;$

5) $4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} \leq 228;$

6) $6 \cdot 0,5^{x+2} + 0,5^{x-3} \geq 19.$

1) $4^x - 3 \cdot 4^{x-2} > 13$

Приведем все степени к одному основанию и показателю. Наименьший показатель - это $x-2$.

Представим $4^x$ как $4^{x-2+2} = 4^{x-2} \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^{x-2}$.

Неравенство принимает вид:

$16 \cdot 4^{x-2} - 3 \cdot 4^{x-2} > 13$

Вынесем общий множитель $4^{x-2}$ за скобки:

$(16 - 3) \cdot 4^{x-2} > 13$

$13 \cdot 4^{x-2} > 13$

Разделим обе части на 13 (знак неравенства не меняется):

$4^{x-2} > 1$

Представим 1 как $4^0$:

$4^{x-2} > 4^0$

Так как основание степени 4 > 1, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x-2 > 0$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

2) $5^{x+1} + 5^{x-2} < 630$

Приведем степени к одному показателю $x-2$.

Представим $5^{x+1}$ как $5^{x-2+3} = 5^{x-2} \cdot 5^3 = 125 \cdot 5^{x-2}$.

Неравенство принимает вид:

$125 \cdot 5^{x-2} + 5^{x-2} < 630$

Вынесем $5^{x-2}$ за скобки:

$(125 + 1) \cdot 5^{x-2} < 630$

$126 \cdot 5^{x-2} < 630$

Разделим обе части на 126:

$5^{x-2} < \frac{630}{126}$

$5^{x-2} < 5$

Представим 5 как $5^1$:

$5^{x-2} < 5^1$

Так как основание 5 > 1, переходим к неравенству для показателей:

$x-2 < 1$

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$

3) $0.5^{x+3} - 0.5^{x+2} + 0.5^{x+1} < 0.375$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $0.5^{x+1}$.

$0.5^{x+3} = 0.5^2 \cdot 0.5^{x+1} = 0.25 \cdot 0.5^{x+1}$

$0.5^{x+2} = 0.5^1 \cdot 0.5^{x+1} = 0.5 \cdot 0.5^{x+1}$

Подставим в неравенство:

$0.25 \cdot 0.5^{x+1} - 0.5 \cdot 0.5^{x+1} + 1 \cdot 0.5^{x+1} < 0.375$

$(0.25 - 0.5 + 1) \cdot 0.5^{x+1} < 0.375$

$0.75 \cdot 0.5^{x+1} < 0.375$

Разделим обе части на 0.75:

$0.5^{x+1} < \frac{0.375}{0.75}$

$0.5^{x+1} < 0.5$

Представим 0.5 как $0.5^1$:

$0.5^{x+1} < 0.5^1$

Так как основание 0.5 < 1, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x+1 > 1$

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

4) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} > 17$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $3^{x-2}$.

$3^{x+1} = 3^{x-2+3} = 3^{x-2} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{x-2}$

$3^{x-1} = 3^{x-2+1} = 3^{x-2} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{x-2}$

Неравенство принимает вид:

$27 \cdot 3^{x-2} - 2 \cdot (3 \cdot 3^{x-2}) - 4 \cdot 3^{x-2} > 17$

$27 \cdot 3^{x-2} - 6 \cdot 3^{x-2} - 4 \cdot 3^{x-2} > 17$

Вынесем $3^{x-2}$ за скобки:

$(27 - 6 - 4) \cdot 3^{x-2} > 17$

$17 \cdot 3^{x-2} > 17$

Разделим на 17:

$3^{x-2} > 1$

$3^{x-2} > 3^0$

Так как основание 3 > 1, знак неравенства сохраняется:

$x-2 > 0$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

5) $4^{x-2} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} \le 228$

Приведем все степени к основанию 2.

$4^{x-2} = (2^2)^{x-2} = 2^{2(x-2)} = 2^{2x-4}$

$2^{2x-1}$

$64^{\frac{x}{3}} = (2^6)^{\frac{x}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{x}{3}} = 2^{2x}$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x-4} - 3 \cdot 2^{2x-1} + 5 \cdot 2^{2x} \le 228$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $2^{2x-4}$.

$2^{2x-1} = 2^{2x-4+3} = 2^{2x-4} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{2x-4}$

$2^{2x} = 2^{2x-4+4} = 2^{2x-4} \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^{2x-4}$

Подставляем в неравенство:

$1 \cdot 2^{2x-4} - 3 \cdot (8 \cdot 2^{2x-4}) + 5 \cdot (16 \cdot 2^{2x-4}) \le 228$

$2^{2x-4} - 24 \cdot 2^{2x-4} + 80 \cdot 2^{2x-4} \le 228$

$(1 - 24 + 80) \cdot 2^{2x-4} \le 228$

$57 \cdot 2^{2x-4} \le 228$

Разделим на 57:

$2^{2x-4} \le \frac{228}{57}$

$2^{2x-4} \le 4$

$2^{2x-4} \le 2^2$

Так как основание 2 > 1, знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 \le 2$

$2x \le 6$

$x \le 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$

6) $6 \cdot 0.5^{x+2} + 0.5^{x-3} \ge 19$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $0.5^{x-3}$.

$0.5^{x+2} = 0.5^{x-3+5} = 0.5^{x-3} \cdot 0.5^5 = 0.5^{x-3} \cdot (\frac{1}{2})^5 = 0.5^{x-3} \cdot \frac{1}{32}$

Неравенство принимает вид:

$6 \cdot (\frac{1}{32} \cdot 0.5^{x-3}) + 1 \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

Вынесем $0.5^{x-3}$ за скобки:

$(\frac{6}{32} + 1) \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

$(\frac{6}{32} + \frac{32}{32}) \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

$\frac{38}{32} \cdot 0.5^{x-3} \ge 19$

Разделим обе части на $\frac{38}{32}$ (или умножим на $\frac{32}{38}$):

$0.5^{x-3} \ge 19 \cdot \frac{32}{38}$

$0.5^{x-3} \ge \frac{19 \cdot 32}{19 \cdot 2}$

$0.5^{x-3} \ge 16$

Представим обе части с основанием $0.5 = \frac{1}{2}$.

$16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4} = 0.5^{-4}$

$0.5^{x-3} \ge 0.5^{-4}$

Так как основание 0.5 < 1, знак неравенства меняется на противоположный:

$x-3 \le -4$

$x \le -4 + 3$

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$

380. Решите уравнение:

1) $4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0;$

2) $9^x + 3^x - 6 = 0;$

3) $49^x + 2 \cdot 7^x - 35 = 0;$

4) $\frac{16 - 3^{2x}}{3^x + 4} = 1;$

5) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0;$

6) $9 - 2^x = 2^{3-x};$

7) $2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} = 7;$

8) $(0,2)^{2x-2} - 126 \cdot (0,2)^x + 5 = 0;$

9) $3^{1 + \sqrt{x+1}} = 28 - 3^{2 - \sqrt{x+1}};$

10) $\frac{5}{3^{x-1}} - \frac{2}{3^x - 1} = 4.$

1) $4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0$
Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 14t - 32 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 = 18^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
Теперь вернемся к замене. Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим корень $t_2 = 16$.
$2^x = 16$.
Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.
$2^x = 2^4$.
Отсюда $x = 4$.
Ответ: $4$.

2) $9^x + 3^x - 6 = 0$
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + t - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение по теореме Виета: произведение корней равно -6, а сумма равна -1. Корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.
Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
$3^x = 2$.
Логарифмируя обе части по основанию 3, получаем:
$x = \log_3 2$.
Ответ: $\log_3 2$.

3) $49^x + 2 \cdot 7^x - 35 = 0$
Представим $49^x$ как $(7^2)^x = (7^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 35 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -35, сумма равна -2. Корни: $t_1 = -7$ и $t_2 = 5$.
Корень $t_1 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_2 = 5$.
Выполним обратную замену:
$7^x = 5$.
Логарифмируя обе части по основанию 7, получаем:
$x = \log_7 5$.
Ответ: $\log_7 5$.

4) $\frac{16 - 3^{2x}}{3^x + 4} = 1$
Область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю. $3^x + 4 \neq 0$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $3^x + 4 > 4$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.
Умножим обе части уравнения на $(3^x + 4)$:
$16 - 3^{2x} = 3^x + 4$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$3^{2x} + 3^x + 4 - 16 = 0$
$(3^x)^2 + 3^x - 12 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 12 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней -12, сумма -1. Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 3$.
Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_2 = 3$.
Обратная замена:
$3^x = 3$.
$3^x = 3^1$.
$x = 1$.
Ответ: $1$.

5) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0$
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Преобразуем степени:
$8^{\frac{2}{x}} = (2^3)^{\frac{2}{x}} = 2^{\frac{6}{x}} = (2^{\frac{3}{x}})^2$.
$2^{\frac{3x+3}{x}} = 2^{3 + \frac{3}{x}} = 2^3 \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}}$.
Уравнение принимает вид:
$(2^{\frac{3}{x}})^2 - 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}} + 12 = 0$.
Сделаем замену $t = 2^{\frac{3}{x}}$, где $t > 0$.
$t^2 - 8t + 12 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней 12, сумма 8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$.
Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.
1) $t_1 = 2$:
$2^{\frac{3}{x}} = 2^1$.
$\frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$.
2) $t_2 = 6$:
$2^{\frac{3}{x}} = 6$.
$\frac{3}{x} = \log_2 6$.
$x = \frac{3}{\log_2 6}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $3; \frac{3}{\log_2 6}$.

6) $9 - 2^x = 2^{3-x}$
Преобразуем правую часть: $2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = \frac{8}{2^x}$.
Уравнение примет вид:
$9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$.
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$9 - t = \frac{8}{t}$.
Умножим на $t$:
$9t - t^2 = 8$.
$t^2 - 9t + 8 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней 8, сумма 9. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Оба корня положительны.
1) $t_1 = 1$: $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.
2) $t_2 = 8$: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.
Ответ: $0; 3$.

7) $2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} = 7$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{1-\sin^2 x} = 7$.
$2^{\sin^2 x} + 5 \cdot \frac{2^1}{2^{\sin^2 x}} = 7$.
Сделаем замену $t = 2^{\sin^2 x}$. Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $2^0 \le 2^{\sin^2 x} \le 2^1$, то есть $1 \le t \le 2$.
Уравнение примет вид:
$t + \frac{10}{t} = 7$.
$t^2 - 7t + 10 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней 10, сумма 7. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.
Корень $t_2 = 5$ не удовлетворяет условию $1 \le t \le 2$.
Рассмотрим корень $t_1 = 2$.
Обратная замена: $2^{\sin^2 x} = 2$.
$\sin^2 x = 1$.
$\sin x = \pm 1$.
Это соответствует точкам на единичной окружности $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8) $(0.2)^{2x-2} - 126 \cdot (0.2)^x + 5 = 0$
Преобразуем первый член: $(0.2)^{2x-2} = (0.2)^{2x} \cdot (0.2)^{-2} = ((0.2)^x)^2 \cdot (\frac{1}{5})^{-2} = 25 \cdot ((0.2)^x)^2$.
Сделаем замену $t = (0.2)^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$25t^2 - 126t + 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 = 124^2$.
$t_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$.
$t_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5$.
Оба корня положительны.
1) $t_1 = 1/25$:
$(0.2)^x = \frac{1}{25} \implies (\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2 \implies x=2$.
2) $t_2 = 5$:
$(0.2)^x = 5 \implies (\frac{1}{5})^x = 5^1 \implies 5^{-x} = 5^1 \implies -x=1 \implies x=-1$.
Ответ: $-1; 2$.

9) $3^{1+\sqrt{x+1}} = 28 - 3^{2-\sqrt{x+1}}$
Область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Преобразуем степени:
$3^{1+\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 3^{\sqrt{x+1}}$.
$3^{2-\sqrt{x+1}} = 3^2 \cdot 3^{-\sqrt{x+1}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x+1}}}$.
Сделаем замену $t = 3^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $t = 3^{\sqrt{x+1}} \ge 3^0 = 1$.
Уравнение примет вид:
$3t = 28 - \frac{9}{t}$.
$3t^2 = 28t - 9$.
$3t^2 - 28t + 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.
$t_1 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
Корень $t_1 = 1/3$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$.
Рассмотрим корень $t_2 = 9$.
Обратная замена: $3^{\sqrt{x+1}} = 9$.
$3^{\sqrt{x+1}} = 3^2$.
$\sqrt{x+1} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $x+1=4 \implies x=3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).
Ответ: $3$.

10) $\frac{5}{3^{x-1}} - \frac{2}{3^x - 1} = 4$
ОДЗ: $3^x - 1 \neq 0 \implies 3^x \neq 1 \implies x \neq 0$.
Преобразуем первый член: $\frac{5}{3^{x-1}} = \frac{5}{3^x \cdot 3^{-1}} = \frac{5 \cdot 3}{3^x} = \frac{15}{3^x}$.
Уравнение примет вид: $\frac{15}{3^x} - \frac{2}{3^x - 1} = 4$.
Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 1$. Также $t>0$.
$\frac{15}{t} - \frac{2}{t - 1} = 4$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{15(t-1) - 2t}{t(t-1)} = 4$.
$\frac{15t - 15 - 2t}{t^2 - t} = 4$.
$\frac{13t - 15}{t^2 - t} = 4$.
$13t - 15 = 4(t^2 - t)$.
$13t - 15 = 4t^2 - 4t$.
$4t^2 - 17t + 15 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{17 - 7}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
$t_2 = \frac{17 + 7}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Оба корня удовлетворяют условиям $t>0$ и $t \neq 1$.
1) $t_1 = 5/4$:
$3^x = \frac{5}{4} \implies x = \log_3(\frac{5}{4})$.
2) $t_2 = 3$:
$3^x = 3 \implies x = 1$.
Ответ: $1; \log_3(\frac{5}{4})$.

381. Решите неравенство:

1) $25^x - 2 \cdot 5^x - 15 > 0;$

2) $4^{x+1} - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0;$

3) $3^{x+2} - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0;$

4) $(\frac{1}{9})^x - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 \le 0;$

5) $(\frac{1}{4})^x - 2^{1-x} - 8 \ge 0;$

6) $7^x + 7^{2-x} - 50 \ge 0.$

1) $25^x - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Перепишем неравенство, приведя степени к одному основанию $5$. Так как $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, получаем:

$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 15$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 15 > 0$ выполняется при $t < -3$ или $t > 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем, что $t > 5$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$5^x > 5$

$5^x > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $4^{x+1} - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Преобразуем неравенство: $4 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0$. Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, получаем:

$4 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$4t^2 - 9t + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $4t^2 - 9t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.

Корни: $t_1 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Парабола $y = 4t^2 - 9t + 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $4t^2 - 9t + 2 \le 0$ выполняется при $t$ между корнями, включая их: $\frac{1}{4} \le t \le 2$.

Оба значения входят в область $t > 0$.

Возвращаемся к $x$:

$\frac{1}{4} \le 2^x \le 2$

$2^{-2} \le 2^x \le 2^1$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-2 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [-2; 1]$.

3) $3^{x+2} - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0$

Преобразуем неравенство: $3^2 \cdot 3^x - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0$. Так как $3^x = (3^{0.5x})^2$, получаем:

$9 \cdot (3^{0.5x})^2 - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0$

Сделаем замену $t = 3^{0.5x}$, где $t > 0$.

$9t^2 - 28t + 3 \ge 0$

Найдем корни уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни: $t_1 = \frac{28-26}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{28+26}{18} = \frac{54}{18} = 3$.

Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{9}$ или $t \ge 3$.

Оба условия удовлетворяют $t > 0$.

Возвращаемся к $x$:

1) $3^{0.5x} \le \frac{1}{9} \implies 3^{0.5x} \le 3^{-2}$. Так как основание $3 > 1$, то $0.5x \le -2 \implies x \le -4$.

2) $3^{0.5x} \ge 3 \implies 3^{0.5x} \ge 3^1$. Так как основание $3 > 1$, то $0.5x \ge 1 \implies x \ge 2$.

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{9})^x - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 \le 0$

Перепишем $(\frac{1}{9})^x = ((\frac{1}{3})^2)^x = ((\frac{1}{3})^x)^2$.

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 \le 0$

Сделаем замену $t = (\frac{1}{3})^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 6t - 27 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t - 27 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -3$.

Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-3 \le t \le 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 9$.

Возвращаемся к $x$: $0 < (\frac{1}{3})^x \le 9$.

Неравенство $(\frac{1}{3})^x > 0$ верно для любого $x$. Решим $(\frac{1}{3})^x \le 9$.

$(\frac{1}{3})^x \le 3^2 \implies (\frac{1}{3})^x \le (\frac{1}{3})^{-2}$

Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -2$

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

5) $(\frac{1}{4})^x - 2^{1-x} - 8 \ge 0$

Приведем все степени к основанию 2. $(\frac{1}{4})^x = (2^{-2})^x = 2^{-2x}$. $2^{1-x} = 2 \cdot 2^{-x}$.

$2^{-2x} - 2 \cdot 2^{-x} - 8 \ge 0$

Пусть $t = 2^{-x}$, где $t > 0$.

$t^2 - 2t - 8 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при $t \le -2$ или $t \ge 4$.

С учетом $t > 0$ остается только $t \ge 4$.

Возвращаемся к $x$:

$2^{-x} \ge 4$

$2^{-x} \ge 2^2$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-x \ge 2$

$x \le -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

6) $7^x + 7^{2-x} - 50 \ge 0$

Преобразуем $7^{2-x} = 7^2 \cdot 7^{-x} = \frac{49}{7^x}$.

$7^x + \frac{49}{7^x} - 50 \ge 0$

Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

$t + \frac{49}{t} - 50 \ge 0$

Так как $t>0$, умножим обе части неравенства на $t$, сохранив знак:

$t^2 - 50t + 49 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 50t + 49 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 49$.

Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 49$.

Оба условия удовлетворяют $t>0$.

Возвращаемся к $x$:

1) $7^x \le 1 \implies 7^x \le 7^0$. Так как основание $7 > 1$, то $x \le 0$.

2) $7^x \ge 49 \implies 7^x \ge 7^2$. Так как основание $7 > 1$, то $x \ge 2$.

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

382. Решите уравнение:

1) $3^x - 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} - 50 \cdot 2^x = 0;$

2) $3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x+2} = 0;$

3) $5^{2x+1} - 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1};$

4) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0.$

1) $3^x - 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} - 50 \cdot 2^x = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $3^x = (3^{\frac{x}{2}})^2$, $6^{\frac{x}{2}} = (2 \cdot 3)^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{\frac{x}{2}}$, и $2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2$.

$(3^{\frac{x}{2}})^2 - 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}} - 50 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^x > 0$, то и $(2^{\frac{x}{2}})^2 > 0$. Разделим обе части уравнения на $(2^{\frac{x}{2}})^2$:

$\frac{(3^{\frac{x}{2}})^2}{(2^{\frac{x}{2}})^2} - 5 \frac{3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}}{(2^{\frac{x}{2}})^2} - 50 \frac{(2^{\frac{x}{2}})^2}{(2^{\frac{x}{2}})^2} = 0$

$(\frac{3}{2})^x - 5 (\frac{3}{2})^{\frac{x}{2}} - 50 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{2})^{\frac{x}{2}}$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 50 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$.

$t_1 = \frac{5 + 15}{2} = 10$

$t_2 = \frac{5 - 15}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_1 = 10$:

$(\frac{3}{2})^{\frac{x}{2}} = 10$

Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{3}{2}$:

$\frac{x}{2} = \log_{\frac{3}{2}}(10)$

$x = 2\log_{\frac{3}{2}}(10)$

Ответ: $2\log_{\frac{3}{2}}(10)$.

2) $3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x+2} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$3^{2x} \cdot 3^4 + 45 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 = 0$

$81 \cdot (3^x)^2 + 45 \cdot 2^x \cdot 3^x - 36 \cdot (2^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^x > 0$, разделим обе части уравнения на $(2^x)^2$:

$81 \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} + 45 \frac{2^x \cdot 3^x}{(2^x)^2} - 36 \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$81 (\frac{3}{2})^{2x} + 45 (\frac{3}{2})^x - 36 = 0$

Разделим все уравнение на 9 для упрощения:

$9 (\frac{3}{2})^{2x} + 5 (\frac{3}{2})^x - 4 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{2})^x$, где $t > 0$.

$9t^2 + 5t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$t_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$t_2 = \frac{-5 - 13}{18} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_1 = \frac{4}{9}$:

$(\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9}$

$(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

3) $5^{2x+1} - 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1}$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем, используя свойства степеней:

$5^{2x} \cdot 5^1 - 3 \cdot (2 \cdot 5)^x - 2^{2x} \cdot 2^1 = 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2 \cdot (2^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^x > 0$, разделим обе части уравнения на $(2^x)^2$:

$5 \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 3 \frac{2^x \cdot 5^x}{(2^x)^2} - 2 \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$5 (\frac{5}{2})^{2x} - 3 (\frac{5}{2})^x - 2 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{5}{2})^x$, где $t > 0$.

$5t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 7}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

Корень $t_2 = -\frac{2}{5}$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_1 = 1$:

$(\frac{5}{2})^x = 1$

$(\frac{5}{2})^x = (\frac{5}{2})^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

4) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$

Преобразуем уравнение, используя $4=2^2$, $14=2 \cdot 7$, $49=7^2$:

$7 \cdot (2^2)^{x^2} - 9 \cdot (2 \cdot 7)^{x^2} + 2 \cdot (7^2)^{x^2} = 0$

$7 \cdot (2^{x^2})^2 - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot (7^{x^2})^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $2^{x^2} > 0$, разделим обе части уравнения на $(2^{x^2})^2$:

$7 \frac{(2^{x^2})^2}{(2^{x^2})^2} - 9 \frac{2^{x^2} \cdot 7^{x^2}}{(2^{x^2})^2} + 2 \frac{(7^{x^2})^2}{(2^{x^2})^2} = 0$

$7 - 9 (\frac{7}{2})^{x^2} + 2 ((\frac{7}{2})^{x^2})^2 = 0$

Перепишем в стандартном виде:

$2 ((\frac{7}{2})^{x^2})^2 - 9 (\frac{7}{2})^{x^2} + 7 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{7}{2})^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $(\frac{7}{2})^{x^2} \ge (\frac{7}{2})^0 = 1$, следовательно $t \ge 1$.

$2t^2 - 9t + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

$t_1 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$t_2 = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$. Рассмoтрим оба случая.

Случай 1: $t_1 = \frac{7}{2}$

$(\frac{7}{2})^{x^2} = \frac{7}{2}$

$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$

Случай 2: $t_2 = 1$

$(\frac{7}{2})^{x^2} = 1$

$x^2 = 0 \implies x_3 = 0$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.