Страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рис. 17

Рис. 18

$2x - y + 3 = 0$

$y = f (x)$

417. На рисунке 18 изображён график функции $y = f (x)$. Расположите в порядке возрастания числа $f'(-2)$, $f'(1)$ и $f'(2)$.

Для того чтобы расположить числа $f'(-2)$, $f'(1)$ и $f'(2)$ в порядке возрастания, воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Знак производной в точке зависит от того, возрастает или убывает функция в этой точке.

• Если функция возрастает (график идет вверх), то ее производная положительна.
• Если функция убывает (график идет вниз), то ее производная отрицательна.
• В точках экстремума (минимума или максимума) касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю.

Проанализируем поведение функции в каждой из заданных точек по графику, представленному на рисунке 18:

В точке $x = -2$ функция $f(x)$ возрастает, так как ее график идет вверх. Следовательно, касательная к графику в этой точке имеет положительный угловой коэффициент, а значит, производная в этой точке положительна: $f'(-2) > 0$.

В точке $x = 1$ функция $f(x)$ убывает, так как ее график идет вниз. Следовательно, касательная к графику в этой точке имеет отрицательный угловой коэффициент, а значит, производная в этой точке отрицательна: $f'(1) < 0$.

В точке $x = 2$ на графике виден локальный минимум функции. В точке минимума касательная к графику горизонтальна (параллельна оси абсцисс), ее угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, производная в этой точке равна нулю: $f'(2) = 0$.

Теперь, зная знаки производных, мы можем их сравнить. Отрицательное число $f'(1)$ является наименьшим. Затем следует ноль, $f'(2)$. Самым большим является положительное число $f'(-2)$. Таким образом, получаем следующее соотношение: $f'(1) < f'(2) < f'(-2)$.

Расположив числа в порядке возрастания, получаем последовательность: $f'(1), f'(2), f'(-2)$.

Ответ: $f'(1), f'(2), f'(-2)$.

418. Сколько критических точек на промежутке $[a; b]$ имеет функция, график которой изображён на рисунке 19?

Рис. 19

Рис. 20

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Проанализируем график функции, представленный на рисунке 19, на промежутке $[a, b]$, чтобы найти все критические точки.

1. Точки, в которых производная равна нулю. Производная функции $f'(x)$ равна нулю в точках, где касательная к графику горизонтальна. На графике это точки гладких локальных экстремумов (максимумов и минимумов). На рисунке 19 на промежутке $[a, b]$ мы видим три такие точки:

• одна точка локального минимума (дно гладкой "впадины");
• две точки локального максимума (вершины гладких "холмов").

Итого, 3 точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$).

2. Точки, в которых производная не существует. Производная не существует в точках, где график функции имеет излом, то есть образует острый угол. На данном графике такая точка одна — это острый пик, направленный вниз. В этой точке функция непрерывна, но недифференцируема.

Таким образом, общее количество критических точек на промежутке $[a, b]$ является суммой точек первого и второго типа.

Общее число критических точек: $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4

419. Функция $y = f(x)$ определена на промежутке $[-8; 3]$ и имеет производную в каждой точке области определения. На рисунке 20 изображён график её производной $y = f'(x)$. Укажите:

Рис. 19

Рис. 20

Для решения задачи проанализируем график производной $y = f'(x)$, представленный на рисунке 20, на заданном промежутке $[-8; 3]$.

1) промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$;

Функция $y = f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) \ge 0$, и убывает там, где $f'(x) \le 0$.

По графику $y = f'(x)$ находим:

Производная $f'(x) \ge 0$ (график находится на оси абсцисс или выше неё) на промежутках $[-5; -3]$ и $[2; 3]$. Следовательно, это промежутки возрастания функции $f(x)$.

Производная $f'(x) \le 0$ (график находится на оси абсцисс или ниже неё) на промежутках $[-8; -5]$ и $[-3; 2]$. Следовательно, это промежутки убывания функции $f(x)$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-5; -3]$ и $[2; 3]$; промежутки убывания: $[-8; -5]$ и $[-3; 2]$.

2) точки минимума и точки максимума функции $y = f(x)$.

Точки экстремума (минимума и максимума) — это точки из области определения, в которых производная функции равна нулю и меняет свой знак.

Из графика видно, что производная $f'(x)$ обращается в ноль в точках $x = -5$, $x = -3$ и $x = 2$.

В точке $x = -5$ производная $f'(x)$ меняет знак с «-» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = -5$ — точка минимума.

В точке $x = -3$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «-» (функция переходит от возрастания к убыванию). Следовательно, $x = -3$ — точка максимума.

В точке $x = 2$ производная $f'(x)$ меняет знак с «-» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = 2$ — точка минимума.

Ответ: точки минимума: $x = -5, x = 2$; точка максимума: $x = -3$.

420. Известно, что для функции $f$ и для любого числа $x$ из промежутка $[a, b]$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Сравните $f(a)$ и $f(b)$.

Условие, что производная функции $f'(x)$ отрицательна на всем промежутке $[a, b]$, имеет ключевое значение для определения характера поведения функции $f(x)$ на этом промежутке.

Знак производной функции напрямую связан с ее монотонностью.

• Если $f'(x) > 0$ на промежутке, функция на нем возрастает.
• Если $f'(x) < 0$ на промежутке, функция на нем убывает.

В данной задаче нам дано, что $f'(x) < 0$ для любого $x$ из промежутка $[a, b]$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всем этом промежутке.

По определению, функция называется строго убывающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Рассмотрим концы нашего промежутка: точки $a$ и $b$. По определению промежутка $[a, b]$, мы знаем, что $a < b$. Поскольку функция $f(x)$ строго убывает на этом промежутке, то, согласно определению убывающей функции, из неравенства $a < b$ следует, что $f(a) > f(b)$.

Этот результат можно также доказать с помощью теоремы Лагранжа о среднем значении. Согласно этой теореме, если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$, для которой выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Выразим из этой формулы разность $f(b) - f(a)$: $f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b - a)$

Теперь проанализируем знаки множителей в правой части:

1. По условию задачи, $f'(x) < 0$ для всех $x \in [a, b]$. Так как $c \in (a, b)$, то и $f'(c) < 0$.
2. Так как $a < b$, разность $b - a > 0$.

Произведение отрицательного числа ($f'(c)$) и положительного числа ($b - a$) всегда будет отрицательным числом. Следовательно: $f(b) - f(a) < 0$

Прибавив $f(a)$ к обеим частям неравенства, получим: $f(b) < f(a)$

Ответ: $f(a) > f(b)$

421. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = -8x^3 - x^2 + 2x$

2) $f(x) = x^3 + 2x - 10$

3) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 2$

4) $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

5) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$

6) $f(x) = \frac{5 - 2x}{x^2 - 4}$

7) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8}$

8) $f(x) = (1 - x)e^{-x}$

9) $f(x) = \frac{x}{e} - e^x$

10) $f(x) = x^2 - 8\ln x$

11) $f(x) = \sqrt{x} (\ln x - 4)$

12) $f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}}$

1) $f(x) = -8x^3 - x^2 + 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (-8x^3 - x^2 + 2x)' = -24x^2 - 2x + 2$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-24x^2 - 2x + 2 = 0$

Делим на -2: $12x^2 + x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах. $f'(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз.

• На интервале $(-\infty; -1/3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(-1/3; 1/4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1/4; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. В точке $x = 1/4$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-\frac{1}{3}; \frac{1}{4}]$, убывает на промежутках $(-\infty; -\frac{1}{3}]$ и $[\frac{1}{4}; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -\frac{1}{3}$, точка максимума $x_{max} = \frac{1}{4}$.

2) $f(x) = x^3 + 2x - 10$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 2x - 10)' = 3x^2 + 2$.

3. Находим критические точки: $3x^2 + 2 = 0$. Уравнение $3x^2 = -2$ не имеет действительных корней. Критических точек нет.

4. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ на всей области определения.

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, убывает на пустом множестве. Точек экстремума нет.

3) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^5 - 5x^4 + 2)' = 5x^4 - 20x^3$.

3. Находим критические точки: $5x^4 - 20x^3 = 0 \Rightarrow 5x^3(x - 4) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

4. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. В точке $x=4$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 4]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, точка минимума $x_{min} = 4$.

4) $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

1. Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{4x^2}$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$.

4. Знаки производной зависят от знака числителя $x^2 - 16$. Знаменатель $4x^2$ положителен при $x \neq 0$.

• При $x \in (-\infty; -4)$, $x^2 - 16 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-4; 0)$, $x^2 - 16 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 4)$, $x^2 - 16 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $x^2 - 16 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-4$ — максимум, в точке $x=4$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $[-4; 0)$ и $(0; 4]$. Точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 4$.

5) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 + x^{-2})' = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3} = \frac{2x^4 - 2}{x^3} = \frac{2(x^4-1)}{x^3}$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2(x^4 - 1) = 0 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

4. Анализируем знак $f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$ на интервалах.

• При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точках $x=-1$ и $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0)$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $(0; 1]$. Точки минимума $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$.

6) $f(x) = \frac{5 - 2x}{x^2 - 4}$

1. Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$, т.е. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{-2(x^2 - 4) - (5 - 2x)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x^2 + 8 - 10x + 4x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^2 - 10x + 8}{(x^2 - 4)^2}$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$.

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Обе точки входят в область определения.

4. Знак производной определяется знаком числителя $2x^2 - 10x + 8 = 2(x-1)(x-4)$.

• При $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; 2) \cup (2; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ — максимум, в точке $x=4$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $[1; 2)$ и $(2; 4]$. Точка максимума $x_{max} = 1$, точка минимума $x_{min} = 4$.

7) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8}$

1. Область определения: $x^3 + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$, т.е. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = \frac{3x^2(x^3 + 8) - x^3(3x^2)}{(x^3 + 8)^2} = \frac{3x^5 + 24x^2 - 3x^5}{(x^3 + 8)^2} = \frac{24x^2}{(x^3 + 8)^2}$.

3. Критическая точка: $f'(x) = 0 \Rightarrow 24x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

4. Анализируем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x^3+8)^2 > 0$ в области определения, то $f'(x) \ge 0$ всюду, где она определена. Производная равна нулю в точке $x=0$, но не меняет свой знак при переходе через эту точку.

Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения и не имеет экстремумов.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$, убывает на пустом множестве. Точек экстремума нет.

8) $f(x) = (1 - x) e^{-x}$

1. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (1 - x)'e^{-x} + (1 - x)(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = (x - 2)e^{-x}$.

3. Находим критические точки: $(x - 2)e^{-x} = 0$. Так как $e^{-x} > 0$, то $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

4. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком множителя $(x-2)$.

• При $x < 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x > 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=2$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 2]$. Точка минимума $x_{min} = 2$.

9) $f(x) = \frac{x}{e} - e^x$

1. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (\frac{x}{e} - e^x)' = \frac{1}{e} - e^x$.

3. Находим критические точки: $\frac{1}{e} - e^x = 0 \Rightarrow e^x = \frac{1}{e} \Rightarrow e^x = e^{-1} \Rightarrow x = -1$.

4. Анализируем знак производной.

• При $x < -1$, $e^x < e^{-1}$, поэтому $f'(x) = \frac{1}{e} - e^x > 0$, функция возрастает.
• При $x > -1$, $e^x > e^{-1}$, поэтому $f'(x) = \frac{1}{e} - e^x < 0$, функция убывает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$, убывает на промежутке $[-1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -1$.

10) $f(x) = x^2 - 8\ln x$

1. Область определения: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (x^2 - 8\ln x)' = 2x - \frac{8}{x} = \frac{2x^2 - 8}{x}$.

3. Находим критические точки: $\frac{2x^2 - 8}{x} = 0 \Rightarrow 2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$.

Учитывая область определения $x>0$, получаем критическую точку $x = 2$.

4. В области определения $x>0$ знаменатель производной положителен, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $2x^2 - 8$.

• При $x \in (0; 2)$, $x^2 < 4$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $x^2 > 4$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=2$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 2]$. Точка минимума $x_{min} = 2$.

11) $f(x) = \sqrt{x}(\ln x - 4)$

1. Область определения: $x > 0$ для $\ln x$ и $x \ge 0$ для $\sqrt{x}$. Итого $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (\sqrt{x})'(\ln x - 4) + \sqrt{x}(\ln x - 4)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x - 4) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x - 4}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x - 4 + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x - 2}{2\sqrt{x}}$.

3. Находим критические точки: $\frac{\ln x - 2}{2\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow \ln x - 2 = 0 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$.

4. Знак производной определяется знаком числителя $\ln x - 2$.

• При $x \in (0; e^2)$, $\ln x < 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (e^2; +\infty)$, $\ln x > 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=e^2$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[e^2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; e^2]$. Точка минимума $x_{min} = e^2$.

12) $f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}}$

1. Область определения: $x > 0$ для $\ln x$ и $\sqrt{x}$ в знаменателе. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{(\ln x + 2)'\sqrt{x} - (\ln x + 2)(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - (\ln x + 2)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2 - (\ln x + 2)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{-\ln x}{2x\sqrt{x}}$.

3. Находим критические точки: $\frac{-\ln x}{2x\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow -\ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$.

4. Знак производной определяется знаком числителя $-\ln x$.

• При $x \in (0; 1)$, $\ln x < 0$, $-\ln x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $\ln x > 0$, $-\ln x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=1$ — максимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 1$.