Номер 420, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 420, страница 255.

420. Известно, что для функции $f$ и для любого числа $x$ из промежутка $[a, b]$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Сравните $f(a)$ и $f(b)$.

Условие, что производная функции $f'(x)$ отрицательна на всем промежутке $[a, b]$, имеет ключевое значение для определения характера поведения функции $f(x)$ на этом промежутке.

Знак производной функции напрямую связан с ее монотонностью.

• Если $f'(x) > 0$ на промежутке, функция на нем возрастает.
• Если $f'(x) < 0$ на промежутке, функция на нем убывает.

В данной задаче нам дано, что $f'(x) < 0$ для любого $x$ из промежутка $[a, b]$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всем этом промежутке.

По определению, функция называется строго убывающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Рассмотрим концы нашего промежутка: точки $a$ и $b$. По определению промежутка $[a, b]$, мы знаем, что $a < b$. Поскольку функция $f(x)$ строго убывает на этом промежутке, то, согласно определению убывающей функции, из неравенства $a < b$ следует, что $f(a) > f(b)$.

Этот результат можно также доказать с помощью теоремы Лагранжа о среднем значении. Согласно этой теореме, если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$, для которой выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Выразим из этой формулы разность $f(b) - f(a)$: $f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b - a)$

Теперь проанализируем знаки множителей в правой части:

1. По условию задачи, $f'(x) < 0$ для всех $x \in [a, b]$. Так как $c \in (a, b)$, то и $f'(c) < 0$.
2. Так как $a < b$, разность $b - a > 0$.

Произведение отрицательного числа ($f'(c)$) и положительного числа ($b - a$) всегда будет отрицательным числом. Следовательно: $f(b) - f(a) < 0$

Прибавив $f(a)$ к обеим частям неравенства, получим: $f(b) < f(a)$

Ответ: $f(a) > f(b)$