Номер 426, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 426, страница 256.

426. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см?

Пусть стороны вписанного прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, совпадает с диаметром этой окружности. По условию, радиус окружности $R = 25 \text{ см}$, значит, ее диаметр, а следовательно и диагональ $d$ прямоугольника, равен:

$d = 2R = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, имеем:

$a^2 + b^2 = d^2$

$a^2 + b^2 = 50^2 = 2500$

Нам необходимо найти максимальное значение площади $S = ab$. Максимизация положительной величины $S$ эквивалентна максимизации ее квадрата $S^2$.

$S^2 = a^2 b^2$

Из соотношения $a^2 + b^2 = 2500$ выразим $b^2$:

$b^2 = 2500 - a^2$

Подставим это выражение в формулу для квадрата площади:

$S^2 = a^2 (2500 - a^2)$

Для нахождения максимума этого выражения введем замену $x = a^2$. Тогда нам нужно найти максимум функции $f(x) = x(2500 - x)$ при $x > 0$. Раскрыв скобки, получим:

$f(x) = -x^2 + 2500x$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Своё максимальное значение такая функция принимает в вершине. Координата вершины $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{k}{2m}$, где $m$ и $k$ — коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно.

В нашем случае $m = -1$ и $k = 2500$.

$x_0 = -\frac{2500}{2 \cdot (-1)} = \frac{2500}{2} = 1250$

Таким образом, квадрат площади $S^2$ максимален, когда $a^2 = 1250$. Найдем соответствующее значение для $b^2$:

$b^2 = 2500 - a^2 = 2500 - 1250 = 1250$

Мы видим, что $a^2 = b^2$, а значит $a=b$. Это означает, что из всех прямоугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.

Вычислим эту максимальную площадь:

$S_{max} = ab = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{1250 \cdot 1250} = 1250 \text{ см}^2$.

Ответ: $1250 \text{ см}^2$.