Номер 425, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Производная и её применение - номер 425, страница 256.

Учебник.

425. Найдите отрицательное число, разность которого с третью его куба

принимает наименьшее значение.

Решение 2.

Пусть искомое отрицательное число будет $x$, где $x < 0$. Разность этого числа с третью его куба можно выразить функцией $f(x) = x - \frac{1}{3}x^3$. Нам необходимо найти значение $x$, при котором эта функция принимает наименьшее значение.

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную:
$f'(x) = (x - \frac{1}{3}x^3)' = 1 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 1 - x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$1 - x^2 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Согласно условию, мы ищем отрицательное число, поэтому нас интересует только критическая точка $x = -1$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную:
$f''(x) = (1 - x^2)' = -2x$

Подставим значение $x = -1$ во вторую производную:
$f''(-1) = -2(-1) = 2$

Поскольку $f''(-1) > 0$, точка $x = -1$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка в области $x < 0$, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на множестве отрицательных чисел.

Ответ: -1