Номер 418, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 418, страница 255.

418. Сколько критических точек на промежутке $[a; b]$ имеет функция, график которой изображён на рисунке 19?

Рис. 19

Рис. 20

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Проанализируем график функции, представленный на рисунке 19, на промежутке $[a, b]$, чтобы найти все критические точки.

1. Точки, в которых производная равна нулю. Производная функции $f'(x)$ равна нулю в точках, где касательная к графику горизонтальна. На графике это точки гладких локальных экстремумов (максимумов и минимумов). На рисунке 19 на промежутке $[a, b]$ мы видим три такие точки:

• одна точка локального минимума (дно гладкой "впадины");
• две точки локального максимума (вершины гладких "холмов").

Итого, 3 точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$).

2. Точки, в которых производная не существует. Производная не существует в точках, где график функции имеет излом, то есть образует острый угол. На данном графике такая точка одна — это острый пик, направленный вниз. В этой точке функция непрерывна, но недифференцируема.

Таким образом, общее количество критических точек на промежутке $[a, b]$ является суммой точек первого и второго типа.

Общее число критических точек: $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4