Номер 421, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 421, страница 255.

421. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = -8x^3 - x^2 + 2x$

2) $f(x) = x^3 + 2x - 10$

3) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 2$

4) $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

5) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$

6) $f(x) = \frac{5 - 2x}{x^2 - 4}$

7) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8}$

8) $f(x) = (1 - x)e^{-x}$

9) $f(x) = \frac{x}{e} - e^x$

10) $f(x) = x^2 - 8\ln x$

11) $f(x) = \sqrt{x} (\ln x - 4)$

12) $f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}}$

1) $f(x) = -8x^3 - x^2 + 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (-8x^3 - x^2 + 2x)' = -24x^2 - 2x + 2$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-24x^2 - 2x + 2 = 0$

Делим на -2: $12x^2 + x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах. $f'(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз.

• На интервале $(-\infty; -1/3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(-1/3; 1/4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1/4; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. В точке $x = 1/4$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-\frac{1}{3}; \frac{1}{4}]$, убывает на промежутках $(-\infty; -\frac{1}{3}]$ и $[\frac{1}{4}; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -\frac{1}{3}$, точка максимума $x_{max} = \frac{1}{4}$.

2) $f(x) = x^3 + 2x - 10$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 2x - 10)' = 3x^2 + 2$.

3. Находим критические точки: $3x^2 + 2 = 0$. Уравнение $3x^2 = -2$ не имеет действительных корней. Критических точек нет.

4. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ на всей области определения.

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, убывает на пустом множестве. Точек экстремума нет.

3) $f(x) = x^5 - 5x^4 + 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^5 - 5x^4 + 2)' = 5x^4 - 20x^3$.

3. Находим критические точки: $5x^4 - 20x^3 = 0 \Rightarrow 5x^3(x - 4) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

4. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. В точке $x=4$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 4]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, точка минимума $x_{min} = 4$.

4) $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

1. Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{4x^2}$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$.

4. Знаки производной зависят от знака числителя $x^2 - 16$. Знаменатель $4x^2$ положителен при $x \neq 0$.

• При $x \in (-\infty; -4)$, $x^2 - 16 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-4; 0)$, $x^2 - 16 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 4)$, $x^2 - 16 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $x^2 - 16 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-4$ — максимум, в точке $x=4$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $[-4; 0)$ и $(0; 4]$. Точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 4$.

5) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 + x^{-2})' = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3} = \frac{2x^4 - 2}{x^3} = \frac{2(x^4-1)}{x^3}$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2(x^4 - 1) = 0 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

4. Анализируем знак $f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$ на интервалах.

• При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точках $x=-1$ и $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0)$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $(0; 1]$. Точки минимума $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$.

6) $f(x) = \frac{5 - 2x}{x^2 - 4}$

1. Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$, т.е. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{-2(x^2 - 4) - (5 - 2x)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x^2 + 8 - 10x + 4x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^2 - 10x + 8}{(x^2 - 4)^2}$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$.

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Обе точки входят в область определения.

4. Знак производной определяется знаком числителя $2x^2 - 10x + 8 = 2(x-1)(x-4)$.

• При $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; 2) \cup (2; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ — максимум, в точке $x=4$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $[1; 2)$ и $(2; 4]$. Точка максимума $x_{max} = 1$, точка минимума $x_{min} = 4$.

7) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8}$

1. Область определения: $x^3 + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$, т.е. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = \frac{3x^2(x^3 + 8) - x^3(3x^2)}{(x^3 + 8)^2} = \frac{3x^5 + 24x^2 - 3x^5}{(x^3 + 8)^2} = \frac{24x^2}{(x^3 + 8)^2}$.

3. Критическая точка: $f'(x) = 0 \Rightarrow 24x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

4. Анализируем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x^3+8)^2 > 0$ в области определения, то $f'(x) \ge 0$ всюду, где она определена. Производная равна нулю в точке $x=0$, но не меняет свой знак при переходе через эту точку.

Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения и не имеет экстремумов.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$, убывает на пустом множестве. Точек экстремума нет.

8) $f(x) = (1 - x) e^{-x}$

1. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (1 - x)'e^{-x} + (1 - x)(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = (x - 2)e^{-x}$.

3. Находим критические точки: $(x - 2)e^{-x} = 0$. Так как $e^{-x} > 0$, то $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

4. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком множителя $(x-2)$.

• При $x < 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x > 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=2$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 2]$. Точка минимума $x_{min} = 2$.

9) $f(x) = \frac{x}{e} - e^x$

1. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (\frac{x}{e} - e^x)' = \frac{1}{e} - e^x$.

3. Находим критические точки: $\frac{1}{e} - e^x = 0 \Rightarrow e^x = \frac{1}{e} \Rightarrow e^x = e^{-1} \Rightarrow x = -1$.

4. Анализируем знак производной.

• При $x < -1$, $e^x < e^{-1}$, поэтому $f'(x) = \frac{1}{e} - e^x > 0$, функция возрастает.
• При $x > -1$, $e^x > e^{-1}$, поэтому $f'(x) = \frac{1}{e} - e^x < 0$, функция убывает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$, убывает на промежутке $[-1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -1$.

10) $f(x) = x^2 - 8\ln x$

1. Область определения: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (x^2 - 8\ln x)' = 2x - \frac{8}{x} = \frac{2x^2 - 8}{x}$.

3. Находим критические точки: $\frac{2x^2 - 8}{x} = 0 \Rightarrow 2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$.

Учитывая область определения $x>0$, получаем критическую точку $x = 2$.

4. В области определения $x>0$ знаменатель производной положителен, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $2x^2 - 8$.

• При $x \in (0; 2)$, $x^2 < 4$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $x^2 > 4$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=2$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 2]$. Точка минимума $x_{min} = 2$.

11) $f(x) = \sqrt{x}(\ln x - 4)$

1. Область определения: $x > 0$ для $\ln x$ и $x \ge 0$ для $\sqrt{x}$. Итого $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (\sqrt{x})'(\ln x - 4) + \sqrt{x}(\ln x - 4)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x - 4) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x - 4}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x - 4 + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x - 2}{2\sqrt{x}}$.

3. Находим критические точки: $\frac{\ln x - 2}{2\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow \ln x - 2 = 0 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$.

4. Знак производной определяется знаком числителя $\ln x - 2$.

• При $x \in (0; e^2)$, $\ln x < 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (e^2; +\infty)$, $\ln x > 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=e^2$ — минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[e^2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; e^2]$. Точка минимума $x_{min} = e^2$.

12) $f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}}$

1. Область определения: $x > 0$ для $\ln x$ и $\sqrt{x}$ в знаменателе. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{(\ln x + 2)'\sqrt{x} - (\ln x + 2)(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - (\ln x + 2)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2 - (\ln x + 2)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{-\ln x}{2x\sqrt{x}}$.

3. Находим критические точки: $\frac{-\ln x}{2x\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow -\ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$.

4. Знак производной определяется знаком числителя $-\ln x$.

• При $x \in (0; 1)$, $\ln x < 0$, $-\ln x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, $\ln x > 0$, $-\ln x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=1$ — максимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 1$.