Номер 428, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Интеграл и его применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 428, страница 256.

428. Найдите общий вид первообразных для функции:

1) $f(x) = x - \frac{2}{x^5}$ на промежутке $(-\infty; 0);$

2) $f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

3) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}$ на промежутке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3});$

4) $f(x) = 2 + \frac{4}{x - 1}$ на промежутке $(-\infty; 1);$

5) $f(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$ на промежутке $(-\infty; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} - \cos \frac{x}{4}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty).$

1) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = x - \frac{2}{x^5}$ на промежутке $(-\infty; 0)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Перепишем функцию в степенном виде для удобства интегрирования: $f(x) = x^1 - 2x^{-5}$.

Применяя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (x - 2x^{-5}) \,dx = \int x \,dx - 2 \int x^{-5} \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 2 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^2}{2} - 2 \frac{x^{-4}}{-4} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x^{-4} + C$.

Запишем результат в виде дроби:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C$.

2) Для функции $f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$, представим ее в виде $f(x) = 3x^{-4} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Интегрируем функцию $f(x)$ для нахождения общего вида первообразных $F(x)$:

$F(x) = \int (3x^{-4} + \frac{1}{2}x^{-1/2}) \,dx = 3 \int x^{-4} \,dx + \frac{1}{2} \int x^{-1/2} \,dx = 3 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + \frac{1}{2} \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 3 \frac{x^{-3}}{-3} + \frac{1}{2} \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = -x^{-3} + x^{1/2} + C$.

Запишем результат в исходных обозначениях:

$F(x) = -\frac{1}{x^3} + \sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^3} + \sqrt{x} + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}$ на промежутке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3})$ найдем общий вид первообразных.

Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} \,dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} \,dx = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$.

$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}) \,dx = 2 \int \frac{dx}{\cos^2 2x} + 3 \int \frac{dx}{\sin^2 3x} = 2 \cdot (\frac{1}{2}\tan(2x)) + 3 \cdot (-\frac{1}{3}\cot(3x)) + C = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.

На заданном промежутке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3})$ функции $\tan(2x)$ и $\cot(3x)$ определены.

Ответ: $F(x) = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.

4) Для функции $f(x) = 2 + \frac{4}{x-1}$ на промежутке $(-\infty; 1)$ найдем общий вид первообразных.

Интегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (2 + \frac{4}{x-1}) \,dx = \int 2 \,dx + 4 \int \frac{1}{x-1} \,dx$.

Первый интеграл равен $2x$. Второй интеграл является табличным: $\int \frac{1}{x-1} \,dx = \ln|x-1| + C$.

Таким образом, $F(x) = 2x + 4\ln|x-1| + C$.

Так как по условию $x \in (-\infty; 1)$, то $x < 1$, и следовательно, $x-1 < 0$. Поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

Окончательный вид первообразной: $F(x) = 2x + 4\ln(1-x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 2x + 4\ln(1-x) + C$.

5) Для функции $f(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$ найдем общий вид первообразных.

Используем табличный интеграл для экспоненциальной функции $\int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.

$F(x) = \int (e^{5x} - 7e^{-4x}) \,dx = \int e^{5x} \,dx - 7 \int e^{-4x} \,dx = \frac{1}{5}e^{5x} - 7 (\frac{1}{-4}e^{-4x}) + C = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$.

6) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} - \cos\frac{x}{4}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty)$ найдем общий вид первообразных.

Перепишем первое слагаемое в степенном виде: $f(x) = (2x+1)^{-1/2} - \cos(\frac{1}{4}x)$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int (2x+1)^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{1/2}}{1/2} = (2x+1)^{1/2} = \sqrt{2x+1}$.

$\int \cos(\frac{x}{4}) \,dx = \frac{1}{1/4} \sin(\frac{x}{4}) = 4\sin(\frac{x}{4})$.

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = \sqrt{2x+1} - 4\sin(\frac{x}{4}) + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{2x+1} - 4\sin(\frac{x}{4}) + C$.