Номер 432, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Интеграл и его применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 432, страница 257.

432. Вычислите интеграл:

1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2};$

2) $\int_{0}^{\pi} (6 \cos 4x - 3 \sin x) dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)};$

4) $\int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 4) dx;$

5) $\int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx;$

6) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}};$

7) $\int_{0}^{2} (3x - 2)^3 dx;$

8) $\int_{2}^{4} e^{-x} dx;$

9) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1}.$

1) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} $.

Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $. Используя формулу для интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, получаем: $ F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $: $ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\pi} (6\cos{4x} - 3\sin{x}) dx $.

Интегрируем по частям, используя табличные интегралы $ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $ и $ \int \sin x dx = -\cos x + C $: $ \int (6\cos{4x} - 3\sin{x}) dx = 6 \int \cos{4x} dx - 3 \int \sin{x} dx = 6 \cdot \frac{1}{4}\sin{4x} - 3(-\cos{x}) = \frac{3}{2}\sin{4x} + 3\cos{x} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{\pi} (6\cos{4x} - 3\sin{x}) dx = \left. \left(\frac{3}{2}\sin{4x} + 3\cos{x}\right) \right|_{0}^{\pi} $ $ = \left(\frac{3}{2}\sin(4\pi) + 3\cos(\pi)\right) - \left(\frac{3}{2}\sin(0) + 3\cos(0)\right) $ $ = \left(\frac{3}{2} \cdot 0 + 3 \cdot (-1)\right) - \left(\frac{3}{2} \cdot 0 + 3 \cdot 1\right) = -3 - 3 = -6 $.

Ответ: $ -6 $

3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2(3x + \frac{\pi}{6})} $.

Используем табличный интеграл $ \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\cot u + C $. Сделаем замену переменной $ u = 3x + \frac{\pi}{6} $, тогда $ du = 3dx $ и $ dx = \frac{du}{3} $. Первообразная: $ \int \frac{1}{\sin^2 u} \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\frac{1}{3}\cot u = -\frac{1}{3}\cot(3x + \frac{\pi}{6}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2(3x + \frac{\pi}{6})} = \left. -\frac{1}{3}\cot(3x + \frac{\pi}{6}) \right|_{0}^{\frac{\pi}{18}} $ $ = \left(-\frac{1}{3}\cot\left(3 \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{1}{3}\cot\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right)\right) $ $ = -\frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) $ $ = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{3}}{9} $

4) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 4) dx $.

Находим первообразную для многочлена: $ \int (x^2 - 2x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 4x $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 4) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + 4x\right) \right|_{-2}^{1} $ $ = \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 4 \cdot 1\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 4 \cdot (-2)\right) $ $ = \left(\frac{1}{3} - 1 + 4\right) - \left(-\frac{8}{3} - 4 - 8\right) = \left(\frac{1}{3} + 3\right) - \left(-\frac{8}{3} - 12\right) $ $ = \frac{10}{3} - \left(-\frac{8}{3} - \frac{36}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{44}{3}\right) = \frac{10 + 44}{3} = \frac{54}{3} = 18 $.

Ответ: $ 18 $

5) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx $.

Находим первообразную: $ \int \left(\frac{4}{x} - x\right) dx = 4\int \frac{1}{x} dx - \int x dx = 4\ln|x| - \frac{x^2}{2} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница (на отрезке $[1, 3]$ $x>0$, поэтому $|x|=x$): $ \int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx = \left. \left(4\ln x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{1}^{3} $ $ = \left(4\ln 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(4\ln 1 - \frac{1^2}{2}\right) = \left(4\ln 3 - \frac{9}{2}\right) - \left(4 \cdot 0 - \frac{1}{2}\right) $ $ = 4\ln 3 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 4\ln 3 - \frac{8}{2} = 4\ln 3 - 4 $.

Ответ: $ 4\ln 3 - 4 $

6) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} $.

Перепишем подынтегральную функцию как $ (2x+5)^{-\frac{1}{2}} $. Сделаем замену $ u = 2x+5 $, тогда $ du=2dx $, $ dx = \frac{du}{2} $. Первообразная: $ \int u^{-\frac{1}{2}} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u} = \sqrt{2x+5} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} = \left. \sqrt{2x+5} \right|_{-2}^{2} = \sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{2 \cdot (-2) + 5} $ $ = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.

Ответ: $ 2 $

7) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} (3x-2)^3 dx $.

Сделаем замену $ u = 3x-2 $, тогда $ du = 3dx $, $ dx = \frac{du}{3} $. Первообразная: $ \int u^3 \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \frac{u^4}{4} = \frac{u^4}{12} = \frac{(3x-2)^4}{12} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{2} (3x-2)^3 dx = \left. \frac{(3x-2)^4}{12} \right|_{0}^{2} = \frac{(3 \cdot 2 - 2)^4}{12} - \frac{(3 \cdot 0 - 2)^4}{12} $ $ = \frac{(6-2)^4}{12} - \frac{(-2)^4}{12} = \frac{4^4}{12} - \frac{16}{12} = \frac{256 - 16}{12} = \frac{240}{12} = 20 $.

Ответ: $ 20 $

8) Вычислим интеграл $ \int_{2}^{4} e^{-x} dx $.

Первообразная для $ e^{-x} $ равна $ -e^{-x} $, так как $ \int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{2}^{4} e^{-x} dx = \left. -e^{-x} \right|_{2}^{4} = (-e^{-4}) - (-e^{-2}) = e^{-2} - e^{-4} $. Результат можно также записать в виде $ \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^4} $.

Ответ: $ e^{-2} - e^{-4} $

9) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{5} \frac{dx}{4x+1} $.

Сделаем замену $ u = 4x+1 $, тогда $ du = 4dx $, $ dx = \frac{du}{4} $. Первообразная: $ \int \frac{1}{u} \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln|u| = \frac{1}{4}\ln|4x+1| $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница (на отрезке $[0, 5]$ выражение $4x+1 > 0$, поэтому модуль можно опустить): $ \int_{0}^{5} \frac{dx}{4x+1} = \left. \frac{1}{4}\ln(4x+1) \right|_{0}^{5} = \frac{1}{4}\ln(4 \cdot 5 + 1) - \frac{1}{4}\ln(4 \cdot 0 + 1) $ $ = \frac{1}{4}\ln(21) - \frac{1}{4}\ln(1) = \frac{1}{4}\ln(21) - 0 = \frac{1}{4}\ln(21) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}\ln(21) $