Номер 430, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Интеграл и его применение - номер 430, страница 257.

Учебник.

430. Тело движется прямолинейно со скоростью, которая в любой момент времени $t$ определяется по закону $v(t) = t^2$. Определите закон движения тела, если за первые 3 с движения тело прошло путь 10 м.

Решение 2.

Закон движения тела $s(t)$ (координата тела в момент времени $t$) связан с его скоростью $v(t)$ через производную: $v(t) = s'(t)$. Следовательно, чтобы найти закон движения, нужно найти первообразную (интеграл) от функции скорости.

По условию, скорость тела в любой момент времени $t$ определяется по закону $v(t) = t^2$.

Находим общий вид закона движения путем интегрирования функции скорости:

$s(t) = \int v(t) dt = \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которая представляет собой начальное положение тела, то есть его координату в момент времени $t=0$. Таким образом, $s(0) = C$.

Далее, используем второе условие задачи: за первые 3 секунды движения тело прошло путь 10 м. Путь, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, вычисляется по формуле:

$L = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$

В данном случае "первые 3 секунды" означают временной интервал от $t_1 = 0$ до $t_2 = 3$. Так как скорость $v(t) = t^2$ всегда неотрицательна при $t \ge 0$, то модуль скорости равен самой скорости: $|v(t)| = t^2$.

Теперь вычислим путь, пройденный телом за первые 3 секунды, исходя из заданного закона скорости:

$L = \int_0^3 t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$ м.

Результат вычисления (9 м) находится в противоречии с условием задачи, где указано, что пройденный путь составляет 10 м. Путь, пройденный телом, определяется только законом скорости и временным интервалом, и не зависит от начального положения $C$. Следовательно, невозможно найти закон движения, который бы удовлетворял обоим условиям задачи одновременно.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка в одном из числовых значений. Например, если бы пройденный путь был равен 9 м, то условие было бы выполнено для любого закона движения вида $s(t) = \frac{t^3}{3} + C$. Для нахождения конкретного значения $C$ потребовалось бы дополнительное условие, например, знание координаты тела в какой-либо момент времени.

Ответ: Условия задачи противоречивы. На основе приведенных данных определить закон движения невозможно, так как путь, вычисленный по закону скорости $v(t)=t^2$ за первые 3 секунды, равен 9 м, а не 10 м, как указано в условии.