Номер 423, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 423, страница 256.

423. Представьте число 15 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение квадрата первого из них на второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, их сумма равна 15. Запишем это в виде уравнения: $x + y = 15$

Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$: $y = 15 - x$

По условию, оба числа неотрицательные, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Так как $y = 15 - x$, то условие $y \ge 0$ означает $15 - x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 15$. Таким образом, переменная $x$ должна находиться в пределах от 0 до 15, то есть $x \in [0, 15]$.

Нам необходимо максимизировать произведение квадрата первого числа на второе. Обозначим это произведение функцией $P(x)$: $P(x) = x^2 \cdot y$ Подставим выражение для $y$: $P(x) = x^2(15 - x) = 15x^2 - x^3$

Чтобы найти наибольшее значение функции $P(x)$ на отрезке $[0, 15]$, нужно найти её производную и приравнять к нулю для определения критических точек. $P'(x) = (15x^2 - x^3)' = 2 \cdot 15x - 3x^2 = 30x - 3x^2$

Найдем критические точки, решив уравнение $P'(x) = 0$: $30x - 3x^2 = 0$ $3x(10 - x) = 0$ Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 10$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 15]$.

Теперь вычислим значения функции $P(x)$ в критических точках ($0$ и $10$) и на концах отрезка (которые совпадают с одной из критических точек и точкой $15$):

• При $x = 0$: $P(0) = 15 \cdot 0^2 - 0^3 = 0$
• При $x = 10$: $P(10) = 15 \cdot 10^2 - 10^3 = 15 \cdot 100 - 1000 = 1500 - 1000 = 500$
• При $x = 15$: $P(15) = 15 \cdot 15^2 - 15^3 = 15^3 - 15^3 = 0$

Сравнивая полученные значения, мы видим, что максимальное значение произведения равно 500 и достигается при $x = 10$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 15 - x = 15 - 10 = 5$

Таким образом, искомые числа — это 10 и 5.

Ответ: $15 = 10 + 5$.