Страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

406. Решите неравенство $f'(x) \ge g'(x)$, если:

1) $f(x) = x^3 + x - \sqrt{3}$, $g(x) = 3x^2 - x - \ln 2$;

2) $f(x) = x - x^3$, $g(x) = \frac{2}{x}$;

3) $f(x) = 2 \cdot 3^x$, $g(x) = 9^{x-1}$.

Даны функции $f(x) = x^3 + x - \sqrt{3}$ и $g(x) = 3x^2 - x - \ln 2$.

Для решения неравенства $f'(x) \geq g'(x)$ сначала найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x - \sqrt{3})' = (x^3)' + (x)' - (\sqrt{3})' = 3x^2 + 1 - 0 = 3x^2 + 1$.

Производная функции $g(x)$:
$g'(x) = (3x^2 - x - \ln 2)' = (3x^2)' - (x)' - (\ln 2)' = 3 \cdot 2x - 1 - 0 = 6x - 1$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$:
$3x^2 + 1 \geq 6x - 1$.

Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 6x + 1 + 1 \geq 0$
$3x^2 - 6x + 2 \geq 0$.

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 6x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 - 6x + 2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0). Следовательно, неравенство $3x^2 - 6x + 2 \geq 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Даны функции $f(x) = x - x^3$ и $g(x) = \frac{2}{x}$.

Найдем производные этих функций. Область определения функции $g(x)$ и ее производной: $x \neq 0$.

Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - x^3)' = 1 - 3x^2$.

Производная функции $g(x) = 2x^{-1}$:
$g'(x) = (2x^{-1})' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$ с учетом области определения $x \neq 0$:
$1 - 3x^2 \geq -\frac{2}{x^2}$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$1 - 3x^2 + \frac{2}{x^2} \geq 0$
$\frac{x^2 - 3x^4 + 2}{x^2} \geq 0$.

Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, знак дроби совпадает со знаком числителя. Решаем неравенство:
$-3x^4 + x^2 + 2 \geq 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$3x^4 - x^2 - 2 \leq 0$.

Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$.
$3t^2 - t - 2 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - t - 2 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$.
$t_1 = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{1+5}{6} = 1$.

Парабола $y = 3t^2 - t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $3t^2 - t - 2 \leq 0$ выполняется при $t \in [-\frac{2}{3}; 1]$.

Вернемся к замене $t = x^2$ и учтем, что $t > 0$:
$0 < x^2 \leq 1$.

Неравенство $x^2 \leq 1$ равносильно $-1 \leq x \leq 1$.
Учитывая условие $x \neq 0$, получаем решение: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$.

Ответ: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$.

Даны функции $f(x) = 2 \cdot 3^x$ и $g(x) = 9^{x-1}$.

Найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$ (используя правило $(c \cdot a^x)' = c \cdot a^x \ln a$):
$f'(x) = (2 \cdot 3^x)' = 2 \cdot 3^x \ln 3$.

Для нахождения производной $g(x)$ сначала преобразуем функцию: $g(x) = 9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}$.
Теперь найдем производную (используя правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$):
$g'(x) = (3^{2x-2})' = 3^{2x-2} \cdot \ln 3 \cdot (2x-2)' = 3^{2x-2} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 2 \cdot 3^{2x-2} \ln 3$.

Составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$:
$2 \cdot 3^x \ln 3 \geq 2 \cdot 3^{2x-2} \ln 3$.

Поскольку $2\ln 3 > 0$, можно разделить обе части неравенства на $2\ln 3$ без изменения знака:
$3^x \geq 3^{2x-2}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степени:
$x \geq 2x - 2$.

Решим линейное неравенство:
$2 \geq 2x - x$
$2 \geq x$, или $x \leq 2$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

407. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 - 12t + 18$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $s$ – в метрах). Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

По условию задачи, движение материальной точки описывается законом $s(t) = 3t^2 - 12t + 18$, где $s$ — перемещение в метрах, а $t$ — время в секундах.

Точка останавливается в тот момент времени, когда её мгновенная скорость становится равной нулю. Скорость $v(t)$ является первой производной функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.

Найдём функцию скорости, взяв производную от функции перемещения:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 - 12t + 18)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 3 \cdot (t^2)' - 12 \cdot (t)' + (18)' = 3 \cdot 2t - 12 \cdot 1 + 0 = 6t - 12$

Теперь найдём момент времени $t$, когда скорость равна нулю. Для этого приравняем полученное выражение для скорости к нулю и решим уравнение:

$v(t) = 0$

$6t - 12 = 0$

Перенесём свободный член в правую часть уравнения:

$6t = 12$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $t$:

$t = \frac{12}{6}$

$t = 2$

Следовательно, материальная точка остановится через 2 секунды после начала движения.

Ответ: 2.

408. Укажите среди данных функций ту функцию, касательная к которой в точке с абсциссой $x_0 = 0$ является горизонтальной прямой:

1) $y = x^3 + 2x - 3;$

2) $y = x^2 - 1;$

3) $y = x^2 - 6x;$

4) $y = -x^2 - x.$

Касательная к графику функции в точке является горизонтальной прямой тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию задачи, касательная горизонтальна в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Это означает, что мы должны найти такую функцию из предложенных, для которой производная в точке $x=0$ равна нулю: $f'(0) = 0$.

Проверим каждую функцию последовательно.

1) Для функции $y = x^3 + 2x - 3$ производная равна $y' = (x^3 + 2x - 3)' = 3x^2 + 2$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$.
Поскольку $y'(0) = 2 \neq 0$, эта функция не является искомой.

2) Для функции $y = x^2 - 1$ производная равна $y' = (x^2 - 1)' = 2x$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
Поскольку $y'(0) = 0$, касательная к графику этой функции в точке $x_0 = 0$ является горизонтальной. Это искомая функция.

3) Для функции $y = x^2 - 6x$ производная равна $y' = (x^2 - 6x)' = 2x - 6$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$.
Поскольку $y'(0) = -6 \neq 0$, эта функция не является искомой.

4) Для функции $y = -x^2 - x$ производная равна $y' = (-x^2 - x)' = -2x - 1$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = -2 \cdot 0 - 1 = -1$.
Поскольку $y'(0) = -1 \neq 0$, эта функция не является искомой.

Таким образом, единственная функция, которая удовлетворяет заданному условию, — это функция под номером 2.

Ответ: 2

409. Укажите среди данных функций ту функцию, касательная к которой в точке с абсциссой $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ параллельна биссектрисе первого координатного угла:

1) $y = \sin x$;

2) $y = \cos x$;

3) $y = \operatorname{ctg} x$.

Для решения задачи необходимо найти функцию, угловой коэффициент касательной к графику которой в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ равен угловому коэффициенту биссектрисы первого координатного угла.

1. Уравнение биссектрисы первого координатного угла — это $y = x$. Ее угловой коэффициент равен $1$.

2. Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Следовательно, угловой коэффициент касательной к искомой функции в точке $x_0$ должен быть равен $1$.

3. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. То есть, $k = f'(x_0)$.

Таким образом, нам нужно найти функцию, для которой выполняется условие $f'(\frac{3\pi}{2}) = 1$. Проверим каждую из предложенных функций.

1) $y = \sin x$

Находим производную функции: $y' = (\sin x)' = \cos x$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$y'(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Поскольку $0 \neq 1$, данная функция не удовлетворяет условию задачи.

2) $y = \cos x$

Находим производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$y'(\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.

Поскольку $1 = 1$, данная функция удовлетворяет условию задачи.

3) $y = \operatorname{ctg} x$

Находим производную функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$y'(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{3\pi}{2})} = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, данная функция не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственная функция из предложенных, которая удовлетворяет условию, это $y = \cos x$.

Ответ: 2) $y = \cos x$.

410. Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sin 2x, x_0 = \frac{\pi}{6}$; 3) $f(x) = \cos \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}\right), x_0 = \pi$;

2) $f(x) = \frac{2}{x}, x_0 = -2$; 4) $f(x) = (x - 1)\sqrt{2x + 1}, x_0 = 4$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = \sin 2x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
1. Найдем значение функции в этой точке:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
4. Подставим найденные значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot (x - \frac{\pi}{6})$.
5. Упростим уравнение:
$y = x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $y = x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x}$ и точка $x_0 = -2$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = \frac{2}{-2} = -1$.
2. Найдем производную функции: $f(x) = 2x^{-1}$.
$f'(x) = (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -1 + (-\frac{1}{2})(x - (-2))$.
5. Упростим уравнение:
$y = -1 - \frac{1}{2}(x+2) = -1 - \frac{1}{2}x - 1 = -\frac{1}{2}x - 2$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x - 2$.

3) Дана функция $f(x) = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})$ и точка $x_0 = \pi$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\pi) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{4\pi - \pi}{12}) = \cos(\frac{3\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}))' = -\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}) \cdot (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})' = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(\pi) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{6})(x - \pi)$.
5. Упростим уравнение:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{6}$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{6}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = (x-1)\sqrt{2x+1}$ и точка $x_0 = 4$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(4) = (4-1)\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = 3\sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9$.
2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
Пусть $u = x-1$ и $v = \sqrt{2x+1}$.
Тогда $u' = 1$ и $v' = (\sqrt{2x+1})' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2x+1} + (x-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \sqrt{2x+1} + \frac{x-1}{\sqrt{2x+1}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(4) = \sqrt{2 \cdot 4 + 1} + \frac{4-1}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}} = \sqrt{9} + \frac{3}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{3}{3} = 3+1=4$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 9 + 4(x-4)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 9 + 4x - 16 = 4x - 7$.
Ответ: $y = 4x - 7$.

411. Прямые $a$ и $b$, изображённые на рисунке 17, параллельны, причём прямая $a$ является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, а уравнение прямой $b$ имеет вид $2x - y + 3 = 0$. Найдите $f'(x_0)$.

Согласно геометрическому смыслу производной, значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке.

По условию задачи, прямая $a$ является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Это означает, что угловой коэффициент прямой $a$, обозначим его $k_a$, равен значению производной в этой точке: $k_a = f'(x_0)$.

Также известно, что прямые $a$ и $b$ параллельны. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Если $k_b$ — угловой коэффициент прямой $b$, то из условия $a \parallel b$ следует, что $k_a = k_b$.

Объединяя эти факты, мы получаем равенство: $f'(x_0) = k_a = k_b$. Таким образом, задача сводится к нахождению углового коэффициента прямой $b$.

Уравнение прямой $b$ дано в общем виде: $2x - y + 3 = 0$. Чтобы найти её угловой коэффициент, приведем это уравнение к виду $y = kx + c$, где коэффициент $k$ и есть искомый угловой коэффициент.

Выразим $y$ из уравнения:

$2x - y + 3 = 0$

$y = 2x + 3$

Из полученного уравнения видно, что угловой коэффициент прямой $b$ равен $k_b = 2$.

Следовательно, искомое значение производной также равно 2: $f'(x_0) = 2$.

Ответ: 2

412. К графику функции $f(x) = 5 + 7x - 4x^2$ проведена касательная, угловой коэффициент которой равен $-9$. Найдите координаты точки касания.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке касания равен значению производной этой функции в той же точке. Пусть искомая точка касания имеет координаты $(x_0, y_0)$. Тогда угловой коэффициент касательной $k$ в этой точке равен $f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = 5 + 7x - 4x^2$ и угловой коэффициент касательной $k = -9$.

1. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования:$f'(x) = (5 + 7x - 4x^2)' = (5)' + (7x)' - (4x^2)' = 0 + 7 - 4 \cdot 2x = 7 - 8x$.

2. Нахождение абсциссы точки касания

Приравняем значение производной в точке касания $x_0$ к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания:$f'(x_0) = k$$7 - 8x_0 = -9$

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:$-8x_0 = -9 - 7$$-8x_0 = -16$$x_0 = \frac{-16}{-8} = 2$.

3. Нахождение ординаты точки касания

Точка касания принадлежит графику функции, поэтому для нахождения её ординаты $y_0$ необходимо подставить найденную абсциссу $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:$y_0 = f(2) = 5 + 7(2) - 4(2)^2$$y_0 = 5 + 14 - 4 \cdot 4$$y_0 = 19 - 16$$y_0 = 3$.

Таким образом, искомые координаты точки касания — $(2, 3)$.

Ответ: $(2, 3)$.

413. Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции $f(x) = \frac{x+4}{x-5}$, угловой коэффициент которых равен -1.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. По условию задачи, угловой коэффициент касательных равен $-1$.

1. Найдем производную функции.
Дана функция $f(x) = \frac{x+4}{x-5}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$f'(x) = \left(\frac{x+4}{x-5}\right)' = \frac{(x+4)'(x-5) - (x+4)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{1 \cdot (x-5) - (x+4) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5-x-4}{(x-5)^2} = \frac{-9}{(x-5)^2}$.

2. Найдем абсциссы точек касания.
Приравняем значение производной к заданному угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания.
$f'(x_0) = -1$
$\frac{-9}{(x_0-5)^2} = -1$
Умножим обе части на $-1$:
$\frac{9}{(x_0-5)^2} = 1$
$(x_0-5)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$x_0-5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 8$
$x_0-5 = -3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2$
Таким образом, существуют две касательные с заданным угловым коэффициентом.

3. Составим уравнения касательных.
Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.

Для первой касательной (при $x_1 = 8$):
Найдем ординату точки касания: $y_1 = f(8) = \frac{8+4}{8-5} = \frac{12}{3} = 4$.
Точка касания: $(8, 4)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
Уравнение касательной:
$y - 4 = -1(x - 8)$
$y - 4 = -x + 8$
$y = -x + 12$

Для второй касательной (при $x_2 = 2$):
Найдем ординату точки касания: $y_2 = f(2) = \frac{2+4}{2-5} = \frac{6}{-3} = -2$.
Точка касания: $(2, -2)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
Уравнение касательной:
$y - (-2) = -1(x - 2)$
$y + 2 = -x + 2$
$y = -x$

4. Найдем координаты точек пересечения касательных с осями координат.

Для касательной $y = -x + 12$:
- Пересечение с осью ординат (OY): подставляем $x = 0$.
$y = -0 + 12 = 12$. Координаты точки: $(0, 12)$.
- Пересечение с осью абсцисс (OX): подставляем $y = 0$.
$0 = -x + 12 \Rightarrow x = 12$. Координаты точки: $(12, 0)$.

Для касательной $y = -x$:
- Пересечение с осью ординат (OY): подставляем $x = 0$.
$y = -0 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
- Пересечение с осью абсцисс (OX): подставляем $y = 0$.
$0 = -x \Rightarrow x = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
Эта касательная проходит через начало координат.

Ответ: Координаты точек пересечения касательных с осями координат: $(12, 0)$, $(0, 12)$, $(0, 0)$.

414. Найдите координаты точки параболы $y = x^2 - 3x + 2$, касательная к которой параллельна прямой $y = 6 - x$.

Для того чтобы касательная к параболе была параллельна данной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $y = 6 - x$. Уравнение прямой в общем виде выглядит как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. В нашем случае $y = -1 \cdot x + 6$, следовательно, угловой коэффициент прямой $k = -1$.

2. Найдем производную функции параболы $y = x^2 - 3x + 2$.
$y'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

3. Приравняем значение производной в точке касания $x_0$ к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу этой точки:
$y'(x_0) = k$
$2x_0 - 3 = -1$
$2x_0 = -1 + 3$
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$.

4. Теперь, зная абсциссу точки касания, найдем ее ординату $y_0$, подставив значение $x_0 = 1$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Таким образом, координаты искомой точки на параболе равны $(1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$.

415. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x$, которая параллельна прямой $y=5x-8$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию задачи, искомая касательная параллельна прямой $y = 5x - 8$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 5x - 8$ равен $k = 5$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$. Следовательно, для нахождения абсциссы точки касания $x_0$ необходимо решить уравнение $f'(x_0) = 5$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x$:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 5x)' = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 5 = 4x^3 - 12x^2 + 5$.

Теперь решим уравнение $f'(x_0) = 5$:
$4x_0^3 - 12x_0^2 + 5 = 5$
$4x_0^3 - 12x_0^2 = 0$
Вынесем общий множитель $4x_0^2$ за скобки:
$4x_0^2(x_0 - 3) = 0$
Данное уравнение имеет два корня: $x_0 = 0$ и $x_0 = 3$.

Это означает, что существуют две касательные к графику функции $f(x)$, которые параллельны прямой $y = 5x - 8$. Найдем уравнение для каждой из них.

1. Касательная в точке $x_0 = 0$
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 0$ в исходную функцию:
$f(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0 = 0$.
Точка касания имеет координаты $(0, 0)$.
Угловой коэффициент касательной $k = f'(0) = 5$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 0 + 5(x - 0)$
$y = 5x$

2. Касательная в точке $x_0 = 3$
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 3$ в исходную функцию:
$f(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 = 81 - 4 \cdot 27 + 15 = 81 - 108 + 15 = -12$.
Точка касания имеет координаты $(3, -12)$.
Угловой коэффициент касательной $k = f'(3) = 5$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$
$y = -12 + 5(x - 3)$
$y = -12 + 5x - 15$
$y = 5x - 27$

Ответ: $y=5x$ и $y=5x-27$.

416. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{3x^2 - 8}$, которая параллельна прямой $y = 3x + 5$.

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, нам необходимо выполнить следующие шаги: найти уравнение этой касательной, определить точки ее пересечения с осями координат, а затем вычислить площадь получившегося прямоугольного треугольника.

1. Нахождение углового коэффициента и точки касания

Условие гласит, что искомая касательная параллельна прямой $y = 3x + 5$. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (наклон). Следовательно, угловой коэффициент нашей касательной $k$ также равен 3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x^2 - 8}$:

$f'(x) = (\sqrt{3x^2 - 8})' = \frac{1}{2\sqrt{3x^2 - 8}} \cdot (3x^2 - 8)' = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2 - 8}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 - 8}}$

Теперь приравняем производную к известному угловому коэффициенту $k=3$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 3 \implies \frac{3x_0}{\sqrt{3x_0^2 - 8}} = 3$

Так как значение корня в знаменателе всегда положительно, для выполнения равенства числитель $3x_0$ также должен быть положительным, что означает $x_0 > 0$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{x_0}{\sqrt{3x_0^2 - 8}} = 1$

Отсюда следует, что $x_0 = \sqrt{3x_0^2 - 8}$. Возведем обе части в квадрат:

$x_0^2 = 3x_0^2 - 8$

$2x_0^2 = 8$

$x_0^2 = 4$

$x_0 = \pm 2$

Учитывая условие $x_0 > 0$, мы выбираем $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:

$y_0 = f(2) = \sqrt{3(2)^2 - 8} = \sqrt{3 \cdot 4 - 8} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 2)$.

2. Составление уравнения касательной

Общее уравнение касательной в точке $(x_0; y_0)$ с угловым коэффициентом $k$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим наши значения: $x_0 = 2$, $y_0 = 2$, $k = 3$.

$y - 2 = 3(x - 2)$

$y - 2 = 3x - 6$

$y = 3x - 4$

3. Вычисление площади треугольника

Треугольник образован касательной $y = 3x - 4$ и осями координат $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX). Это прямоугольный треугольник, вершины которого — начало координат и точки пересечения касательной с осями.

Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$ в уравнение касательной:

$y = 3(0) - 4 = -4$.

Точка пересечения с OY — $(0; -4)$. Длина одного катета равна $|-4| = 4$.

Найдем точку пересечения с осью OX, подставив $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 = 3x - 4$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$.

Точка пересечения с OX — $(\frac{4}{3}; 0)$. Длина второго катета равна $\frac{4}{3}$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.