Номер 410, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 410, страница 254.

410. Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sin 2x, x_0 = \frac{\pi}{6}$; 3) $f(x) = \cos \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}\right), x_0 = \pi$;

2) $f(x) = \frac{2}{x}, x_0 = -2$; 4) $f(x) = (x - 1)\sqrt{2x + 1}, x_0 = 4$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = \sin 2x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
1. Найдем значение функции в этой точке:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
4. Подставим найденные значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot (x - \frac{\pi}{6})$.
5. Упростим уравнение:
$y = x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $y = x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x}$ и точка $x_0 = -2$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = \frac{2}{-2} = -1$.
2. Найдем производную функции: $f(x) = 2x^{-1}$.
$f'(x) = (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -1 + (-\frac{1}{2})(x - (-2))$.
5. Упростим уравнение:
$y = -1 - \frac{1}{2}(x+2) = -1 - \frac{1}{2}x - 1 = -\frac{1}{2}x - 2$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x - 2$.

3) Дана функция $f(x) = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})$ и точка $x_0 = \pi$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\pi) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{4\pi - \pi}{12}) = \cos(\frac{3\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}))' = -\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}) \cdot (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})' = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12})$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(\pi) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{6})(x - \pi)$.
5. Упростим уравнение:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{6}$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{6}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = (x-1)\sqrt{2x+1}$ и точка $x_0 = 4$.
Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(4) = (4-1)\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = 3\sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9$.
2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
Пусть $u = x-1$ и $v = \sqrt{2x+1}$.
Тогда $u' = 1$ и $v' = (\sqrt{2x+1})' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2x+1} + (x-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \sqrt{2x+1} + \frac{x-1}{\sqrt{2x+1}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(4) = \sqrt{2 \cdot 4 + 1} + \frac{4-1}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1}} = \sqrt{9} + \frac{3}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{3}{3} = 3+1=4$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 9 + 4(x-4)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 9 + 4x - 16 = 4x - 7$.
Ответ: $y = 4x - 7$.