Номер 407, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 407, страница 254.

407. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 - 12t + 18$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $s$ – в метрах). Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

По условию задачи, движение материальной точки описывается законом $s(t) = 3t^2 - 12t + 18$, где $s$ — перемещение в метрах, а $t$ — время в секундах.

Точка останавливается в тот момент времени, когда её мгновенная скорость становится равной нулю. Скорость $v(t)$ является первой производной функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.

Найдём функцию скорости, взяв производную от функции перемещения:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 - 12t + 18)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 3 \cdot (t^2)' - 12 \cdot (t)' + (18)' = 3 \cdot 2t - 12 \cdot 1 + 0 = 6t - 12$

Теперь найдём момент времени $t$, когда скорость равна нулю. Для этого приравняем полученное выражение для скорости к нулю и решим уравнение:

$v(t) = 0$

$6t - 12 = 0$

Перенесём свободный член в правую часть уравнения:

$6t = 12$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $t$:

$t = \frac{12}{6}$

$t = 2$

Следовательно, материальная точка остановится через 2 секунды после начала движения.

Ответ: 2.