Номер 401, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 401, страница 253.

401. Решите уравнение:

1) $3\log_3^2 x + 7\log_3 x - 6 = 0;$

2) $\ln^2 x - 4\ln x - 21 = 0;$

3) $\frac{2}{\lg x + 2} - \frac{1}{\lg x - 4} = 1;$

4) $\lg^2 x + 2\lg x - 20 = 5^{\log_5 \lg x};$

5) $\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6;$

6) $\log_5^2 x^3 - 5\log_5 x^2 + 1 = 0;$

7) $\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1;$

8) $\log_9 x + \log_x 9 = 2,5.$

1) $3\log_3^2 x + 7\log_3 x - 6 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид: $3t^2 + 7t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Корни уравнения для $t$: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь выполним обратную замену:
1. $\log_3 x = \frac{2}{3} \implies x = 3^{2/3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
2. $\log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = \frac{1}{27}$, $x_2 = \sqrt[3]{9}$.

2) $\ln^2 x - 4\ln x - 21 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\ln x$. ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \ln x$. Уравнение становится: $t^2 - 4t - 21 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 4$
$t_1 \cdot t_2 = -21$
Подходят корни $t_1 = 7$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:
1. $\ln x = 7 \implies x = e^7$.
2. $\ln x = -3 \implies x = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = e^7$, $x_2 = e^{-3}$.

3) $\frac{2}{\lg x + 2} - \frac{1}{\lg x - 4} = 1$

ОДЗ:
1. $x > 0$ (аргумент логарифма).
2. $\lg x + 2 \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2}$.
3. $\lg x - 4 \neq 0 \implies \lg x \neq 4 \implies x \neq 10^4$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид: $\frac{2}{t + 2} - \frac{1}{t - 4} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{2(t - 4) - (t + 2)}{(t + 2)(t - 4)} = 1$
$\frac{2t - 8 - t - 2}{t^2 - 2t - 8} = 1$
$\frac{t - 10}{t^2 - 2t - 8} = 1$

При условии $t \neq -2$ и $t \neq 4$, умножим обе части на знаменатель: $t - 10 = t^2 - 2t - 8$
$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Оба корня не совпадают с ограничениями $t \neq -2, t \neq 4$.

Обратная замена:
1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10$, $x_2 = 100$.

4) $\lg^2 x + 2\lg x - 20 = 5^{\log_5 \lg x}$

ОДЗ:
1. $x > 0$ (аргумент $\lg x$).
2. $\lg x > 0$ (аргумент $\log_5$), что означает $x > 1$.
Итоговая ОДЗ: $x > 1$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $5^{\log_5 \lg x} = \lg x$

Уравнение принимает вид: $\lg^2 x + 2\lg x - 20 = \lg x$
$\lg^2 x + \lg x - 20 = 0$

Пусть $t = \lg x$. Тогда $t^2 + t - 20 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = -5$, $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену:
1. $\lg x = -5$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $t = \lg x$ должен быть больше 0.
2. $\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $x = 10000$.

5) $\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6$

ОДЗ: $x^2 > 0$ и $\frac{x}{9} > 0$. Из второго условия следует $x > 0$. Это удовлетворяет и первому условию. Итак, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифмы, используя их свойства:
$\log_3 x^2 = 2\log_3 x$
$\log_3 \frac{x}{9} = \log_3 x - \log_3 9 = \log_3 x - 2$

Подставим в уравнение: $(2\log_3 x)(\log_3 x - 2) = 6$

Пусть $t = \log_3 x$. $2t(t - 2) = 6$
$2t^2 - 4t - 6 = 0$
$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Обратная замена:
1. $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
2. $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 27$.

6) $\log_5^2 x^3 - 5\log_5 x^2 + 1 = 0$

ОДЗ: $x^3 > 0 \implies x > 0$.

Используем свойства логарифмов:
$\log_5^2 x^3 = (\log_5 x^3)^2 = (3\log_5 x)^2 = 9\log_5^2 x$
$5\log_5 x^2 = 5(2\log_5 x) = 10\log_5 x$

Подставим в уравнение: $9\log_5^2 x - 10\log_5 x + 1 = 0$

Пусть $t = \log_5 x$. $9t^2 - 10t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$t_1 = \frac{10 + 8}{18} = 1$
$t_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Обратная замена:
1. $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.
2. $\log_5 x = \frac{1}{9} \implies x = 5^{1/9} = \sqrt[9]{5}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = \sqrt[9]{5}$.

7) $\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый логарифм: $\log_7 \frac{7}{x} = \log_7 7 - \log_7 x = 1 - \log_7 x$

Подставим в уравнение: $(1 - \log_7 x) + \log_7^3 x = 1$
$\log_7^3 x - \log_7 x = 0$

Пусть $t = \log_7 x$. $t^3 - t = 0$
$t(t^2 - 1) = 0$
$t(t-1)(t+1) = 0$
Корни: $t_1 = 0$, $t_2 = 1$, $t_3 = -1$.

Обратная замена:
1. $\log_7 x = 0 \implies x = 7^0 = 1$.
2. $\log_7 x = 1 \implies x = 7^1 = 7$.
3. $\log_7 x = -1 \implies x = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Все три корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{7}$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$.

8) $\log_9 x + \log_x 9 = 2,5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. $\log_x 9 = \frac{1}{\log_9 x}$

Уравнение принимает вид: $\log_9 x + \frac{1}{\log_9 x} = 2,5$

Пусть $t = \log_9 x$. Из ОДЗ ($x \neq 1$) следует, что $t \neq 0$. $t + \frac{1}{t} = 2,5$

Умножим обе части на $t$: $t^2 + 1 = 2,5t$
$t^2 - 2,5t + 1 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
$t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Обратная замена:
1. $\log_9 x = 2 \implies x = 9^2 = 81$.
2. $\log_9 x = 0,5 \implies x = 9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 81$.