Номер 398, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 398, страница 252.

398. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5}}$

2) $f(x) = \log_3 \log_{0.3} \frac{x-2}{x+3}$

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5}}$, необходимо выполнить два условия:

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5} \ge 0$

2. Выражение, находящееся под знаком логарифма, должно быть строго положительным:
$\frac{x+1}{x-5} > 0$

Рассмотрим первое неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием 0.7: $0 = \log_{0.7} 1$.Неравенство принимает вид:
$\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5} \ge \log_{0.7} 1$

Так как основание логарифма $0.7$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x+1}{x-5} \le 1$

Таким образом, область определения функции задается системой неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{x+1}{x-5} > 0 \\ \frac{x+1}{x-5} \le 1 \end{cases} $$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{x+1}{x-5} - 1 \le 0$
$\frac{x+1 - (x-5)}{x-5} \le 0$
$\frac{x+1 - x + 5}{x-5} \le 0$
$\frac{6}{x-5} \le 0$

Поскольку числитель 6 — положительное число, дробь будет неположительной, только если ее знаменатель будет отрицательным:
$x-5 < 0 \implies x < 5$.

Теперь решим первое неравенство системы $\frac{x+1}{x-5} > 0$ методом интервалов.Корни числителя и знаменателя: $x = -1$ и $x = 5$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5)$ и $(5, \infty)$.
Проверим знак дроби в каждом интервале:
- на $(-\infty, -1)$ дробь положительна (например, при $x=-2$ получаем $\frac{-1}{-7} > 0$);
- на $(-1, 5)$ дробь отрицательна (например, при $x=0$ получаем $\frac{1}{-5} < 0$);
- на $(5, \infty)$ дробь положительна (например, при $x=6$ получаем $\frac{7}{1} > 0$).
Решением неравенства $\frac{x+1}{x-5} > 0$ является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Для нахождения области определения функции найдем пересечение решений двух неравенств: $x < 5$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.
Пересечением этих множеств является интервал $(-\infty, -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

2) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \log_3 \log_{0.3} \frac{x-2}{x+3}$, необходимо, чтобы аргумент каждого логарифма был строго положительным.

1. Аргумент внешнего логарифма ($\log_3$) должен быть положительным:
$\log_{0.3} \frac{x-2}{x+3} > 0$

2. Аргумент внутреннего логарифма ($\log_{0.3}$) должен быть положительным:
$\frac{x-2}{x+3} > 0$

Решим первое неравенство. Представим 0 как $\log_{0.3} 1$:
$\log_{0.3} \frac{x-2}{x+3} > \log_{0.3} 1$

Так как основание логарифма $0.3 < 1$, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x-2}{x+3} < 1$

Таким образом, область определения задается системой из двух неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{x-2}{x+3} > 0 \\ \frac{x-2}{x+3} < 1 \end{cases} $$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{x-2}{x+3} - 1 < 0$
$\frac{x-2 - (x+3)}{x+3} < 0$
$\frac{x-2 - x - 3}{x+3} < 0$
$\frac{-5}{x+3} < 0$

Поскольку числитель -5 — отрицательное число, дробь будет отрицательной, только если ее знаменатель будет положительным:
$x+3 > 0 \implies x > -3$.

Теперь решим первое неравенство системы $\frac{x-2}{x+3} > 0$ методом интервалов.Корни числителя и знаменателя: $x = 2$ и $x = -3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, \infty)$.
Проверяя знаки, находим, что неравенство выполняется на интервалах $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Для нахождения области определения функции найдем пересечение решений двух неравенств: $x > -3$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Пересечением этих множеств является интервал $(2, \infty)$.

Ответ: $x \in (2, \infty)$.