Страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

395. Найдите множество решений неравенства:

1) $log_7(2x - 1) < 2;$

2) $log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) > 1;$

3) $log_4(x + 1) < -\frac{1}{2};$

4) $lg(x^2 + x + 8) > 1;$

5) $log_{0.2}(x^2 + 4x) \geq -1;$

6) $log_5(x^2 + 2x - 3) \leq 1;$

7) $log_{0.6}(x^2 + 4x + 4) > 0;$

8) $log_3\frac{2x + 1}{x + 1} \geq 1;$

9) $log_{\frac{1}{6}}\frac{x + 2}{x^2} < 0.$

1) $log_7(2x - 1) < 2$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным (Область допустимых значений, ОДЗ): $2x - 1 > 0$ $2x > 1$ $x > \frac{1}{2}$

Во-вторых, решаем само неравенство. Так как основание логарифма $7 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям под знаком логарифма. Представим правую часть как логарифм по основанию 7: $2 = log_7(7^2) = log_7(49)$. $log_7(2x - 1) < log_7(49)$ $2x - 1 < 49$ $2x < 50$ $x < 25$

Объединяем оба условия в систему: $\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x < 25 \end{cases}$ Решением системы является пересечение интервалов $(\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; 25)$, что дает интервал $(\frac{1}{2}; 25)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 25)$.

2) $log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) > 1$

ОДЗ: $2x - 3 > 0$ $2x > 3$ $x > \frac{3}{2}$

Решаем неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Представим правую часть как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $1 = log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^1) = log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$. $log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) > log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$ $2x - 3 < \frac{1}{2}$ $2x < 3 + \frac{1}{2}$ $2x < \frac{7}{2}$ $x < \frac{7}{4}$

Объединяем условия в систему: $\begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x < \frac{7}{4} \end{cases}$ Решением является интервал $(\frac{3}{2}; \frac{7}{4})$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; \frac{7}{4})$.

3) $log_4(x + 1) < -\frac{1}{2}$

ОДЗ: $x + 1 > 0$ $x > -1$

Решаем неравенство. Основание $4 > 1$, знак не меняется. Представим правую часть: $-\frac{1}{2} = log_4(4^{-\frac{1}{2}}) = log_4(\frac{1}{\sqrt{4}}) = log_4(\frac{1}{2})$. $log_4(x + 1) < log_4(\frac{1}{2})$ $x + 1 < \frac{1}{2}$ $x < \frac{1}{2} - 1$ $x < -\frac{1}{2}$

Система: $\begin{cases} x > -1 \\ x < -\frac{1}{2} \end{cases}$ Решением является интервал $(-1; -\frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-1; -\frac{1}{2})$.

4) $lg(x^2 + x + 8) > 1$

$lg$ — это десятичный логарифм, $log_{10}$. ОДЗ: $x^2 + x + 8 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $y=x^2+x+8$ полностью лежит выше оси Ox, поэтому $x^2 + x + 8 > 0$ для любых $x$. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание $10 > 1$, знак сохраняется. $1 = lg(10)$. $lg(x^2 + x + 8) > lg(10)$ $x^2 + x + 8 > 10$ $x^2 + x - 2 > 0$ Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Парабола $y = x^2 + x - 2$ ветвями вверх, значит, она положительна вне корней. Решение: $x < -2$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.

5) $log_{0,2}(x^2 + 4x) \ge -1$

ОДЗ: $x^2 + 4x > 0 \implies x(x + 4) > 0$. Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание $0,2 < 1$, знак меняется. $-1 = log_{0,2}(0,2^{-1}) = log_{0,2}((\frac{1}{5})^{-1}) = log_{0,2}(5)$. $log_{0,2}(x^2 + 4x) \ge log_{0,2}(5)$ $x^2 + 4x \le 5$ $x^2 + 4x - 5 \le 0$ Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Парабола ветвями вверх, значит, она неположительна между корнями (включая их). Решение: $-5 \le x \le 1$, или $x \in [-5; 1]$.

Находим пересечение решения $x \in [-5; 1]$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$. Пересечение $[-5; 1]$ и $(-\infty; -4)$ дает $[-5; -4)$. Пересечение $[-5; 1]$ и $(0; +\infty)$ дает $(0; 1]$. Объединяем эти два интервала.

Ответ: $x \in [-5; -4) \cup (0; 1]$.

6) $log_5(x^2 + 2x - 3) \le 1$

ОДЗ: $x^2 + 2x - 3 > 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Парабола ветвями вверх, положительна вне корней. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание $5 > 1$, знак сохраняется. $1 = log_5(5)$. $log_5(x^2 + 2x - 3) \le log_5(5)$ $x^2 + 2x - 3 \le 5$ $x^2 + 2x - 8 \le 0$ Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$. Парабола ветвями вверх, неположительна между корнями. Решение: $-4 \le x \le 2$, или $x \in [-4; 2]$.

Находим пересечение решения $x \in [-4; 2]$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. Пересечение $[-4; 2]$ и $(-\infty; -3)$ дает $[-4; -3)$. Пересечение $[-4; 2]$ и $(1; +\infty)$ дает $(1; 2]$. Объединяем.

Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (1; 2]$.

7) $log_{0,6}(x^2 + 4x + 4) > 0$

ОДЗ: $x^2 + 4x + 4 > 0 \implies (x + 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = -2$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание $0,6 < 1$, знак меняется. $0 = log_{0,6}(1)$. $log_{0,6}((x + 2)^2) > log_{0,6}(1)$ $(x + 2)^2 < 1$ $(x + 2)^2 - 1 < 0$ $(x + 2 - 1)(x + 2 + 1) < 0$ $(x + 1)(x + 3) < 0$ Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. Парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями. Решение: $-3 < x < -1$, или $x \in (-3; -1)$.

Пересекаем решение $x \in (-3; -1)$ с ОДЗ $x \ne -2$. Точка $x = -2$ находится внутри этого интервала, поэтому ее нужно исключить.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-2; -1)$.

8) $log_3 \frac{2x + 1}{x + 1} \ge 1$

ОДЗ: $\frac{2x + 1}{x + 1} > 0$. Методом интервалов (нули числителя $x = -1/2$, нуль знаменателя $x = -1$) получаем $x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание $3 > 1$, знак сохраняется. $1 = log_3(3)$. $\frac{2x + 1}{x + 1} \ge 3$ $\frac{2x + 1}{x + 1} - 3 \ge 0$ $\frac{2x + 1 - 3(x + 1)}{x + 1} \ge 0$ $\frac{2x + 1 - 3x - 3}{x + 1} \ge 0$ $\frac{-x - 2}{x + 1} \ge 0$ Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x + 2}{x + 1} \le 0$ Методом интервалов (нули $x = -2$ и $x = -1$) получаем решение $x \in [-2; -1)$.

Пересекаем решение $x \in [-2; -1)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$. Интервал $[-2; -1)$ полностью входит в часть ОДЗ $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in [-2; -1)$.

9) $log_{\frac{1}{6}} \frac{x + 2}{x^2} < 0$

ОДЗ: $\frac{x + 2}{x^2} > 0$. Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, знак дроби зависит от знака числителя. $x + 2 > 0 \implies x > -2$. ОДЗ: $x \in (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Решаем неравенство. Основание $\frac{1}{6} < 1$, знак меняется. $0 = log_{\frac{1}{6}}(1)$. $\frac{x + 2}{x^2} > 1$ $\frac{x + 2}{x^2} - 1 > 0$ $\frac{x + 2 - x^2}{x^2} > 0$ $\frac{-x^2 + x + 2}{x^2} > 0$ Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x^2 - x - 2}{x^2} < 0$ Так как $x^2 > 0$ (из ОДЗ), то неравенство сводится к $x^2 - x - 2 < 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями. Решение: $-1 < x < 2$, или $x \in (-1; 2)$.

Пересекаем решение $x \in (-1; 2)$ с ОДЗ $x \in (-2; 0) \cup (0; +\infty)$. Нужно из интервала $(-1; 2)$ исключить точку $x=0$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 2)$.

396. Решите уравнение:

1) $ \lg (5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2 $

2) $ \log_5 (250 - x^3) = 3\log_5 x $

3) $ \log_9 (4x - 6) = \log_9 (2x - 4) $

4) $ \frac{1}{2} \lg (3x^2 + 25) = \lg (3x - 5) $

5) $ \lg (2x + 1) = 0,5 \lg (1 - 3x) $

6) $ \log_6 (x^2 - x - 2) = \log_6 (2x^2 + x - 1) $

7) $ 2\log_7 (-x) = \log_7 (x + 6) $

8) $ \ln (x^2 - 2x - 8) = 2\ln \sqrt{-4x} $

1) $lg(5x + 2) = \frac{1}{2}lg 36 + lg 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$5x + 2 > 0$
$5x > -2$
$x > -\frac{2}{5}$

Упростим правую часть уравнения, используя свойства логарифмов $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\frac{1}{2}lg 36 + lg 2 = lg(36^{\frac{1}{2}}) + lg 2 = lg(\sqrt{36}) + lg 2 = lg 6 + lg 2 = lg(6 \cdot 2) = lg 12$.

Теперь уравнение имеет вид:
$lg(5x + 2) = lg 12$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$5x + 2 = 12$
$5x = 10$
$x = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > -2/5$). $2 > -2/5$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $2$.

2) $log_5 (250 - x^3) = 3log_5 x$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
1) $250 - x^3 > 0 \Rightarrow x^3 < 250 \Rightarrow x < \sqrt[3]{250}$
2) $x > 0$
Общая ОДЗ: $0 < x < \sqrt[3]{250}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$3log_5 x = log_5(x^3)$.

Уравнение принимает вид:
$log_5(250 - x^3) = log_5(x^3)$.

Приравниваем аргументы:
$250 - x^3 = x^3$
$250 = 2x^3$
$x^3 = 125$
$x = 5$.

Проверим корень по ОДЗ ($0 < x < \sqrt[3]{250}$). Так как $5^3=125$ и $125 < 250$, то $5 < \sqrt[3]{250}$. Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

3) $log_9 (4x - 6) = log_9 (2x - 4)$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} 4x - 6 > 0 \\ 2x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x > 6 \\ 2x > 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 2 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x > 2$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x - 6 = 2x - 4$
$4x - 2x = 6 - 4$
$2x = 2$
$x = 1$.

Проверим корень по ОДЗ ($x > 2$). $1$ не больше $2$, следовательно, корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Ответ: нет корней.

4) $\frac{1}{2}lg (3x^2 + 25) = lg (3x - 5)$

Найдем ОДЗ:
1) $3x^2 + 25 > 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $3x^2+25$ всегда положительно.
2) $3x - 5 > 0 \Rightarrow 3x > 5 \Rightarrow x > 5/3$.
ОДЗ: $x > 5/3$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$lg((3x^2 + 25)^{\frac{1}{2}}) = lg(3x - 5)$
$lg(\sqrt{3x^2 + 25}) = lg(3x - 5)$.

Приравниваем аргументы:
$\sqrt{3x^2 + 25} = 3x - 5$.

Возведем обе части в квадрат (при условии $3x-5 \ge 0$, что уже учтено в ОДЗ):
$3x^2 + 25 = (3x - 5)^2$
$3x^2 + 25 = 9x^2 - 30x + 25$
$6x^2 - 30x = 0$
$6x(x - 5) = 0$.
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 5/3$):
$x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 5/3$.
$x_2=5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 5/3$.

Ответ: $5$.

5) $lg (2x + 1) = 0,5lg (1 - 3x)$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ 1 - 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -1 \\ 1 > 3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/2 \\ x < 1/3 \end{cases}$.
ОДЗ: $-1/2 < x < 1/3$.

Преобразуем уравнение:
$lg(2x+1) = \frac{1}{2}lg(1-3x)$
$lg(2x+1) = lg((1-3x)^{\frac{1}{2}})$
$lg(2x+1) = lg(\sqrt{1-3x})$.

Приравниваем аргументы:
$2x+1 = \sqrt{1-3x}$.

Возводим в квадрат (при условии $2x+1 \ge 0$, что выполняется в ОДЗ):
$(2x+1)^2 = 1-3x$
$4x^2 + 4x + 1 = 1 - 3x$
$4x^2 + 7x = 0$
$x(4x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -7/4$.

Проверяем корни по ОДЗ ($-1/2 < x < 1/3$):
$x_1=0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1/2 < 0 < 1/3$.
$x_2=-7/4 = -1.75$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1.75 \ngtr -0.5$.

Ответ: $0$.

6) $log_6 (x^2 - x - 2) = log_6 (2x^2 + x - 1)$

Найдем ОДЗ:
1) $x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ это $x=-1$ и $x=2$. Неравенство верно при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.
2) $2x^2 + x - 1 > 0$. Корни уравнения $2x^2 + x - 1 = 0$ это $x=-1$ и $x=1/2$. Неравенство верно при $x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty)$.
Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^2 - x - 2 = 2x^2 + x - 1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
$x = -1$.

Проверяем корень по ОДЗ. $x=-1$ не входит в область $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$, так как неравенства строгие.

Ответ: нет корней.

7) $2log_7 (-x) = log_7 (x + 6)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -6 \end{cases}$.
ОДЗ: $-6 < x < 0$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$log_7 ((-x)^2) = log_7(x+6)$
$log_7 (x^2) = log_7(x+6)$.

Приравниваем аргументы:
$x^2 = x + 6$
$x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($-6 < x < 0$):
$x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=-2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 < -2 < 0$.

Ответ: $-2$.

8) $ln (x^2 - 2x - 8) = 2ln \sqrt{-4x}$

Найдем ОДЗ:
1) $x^2 - 2x - 8 > 0$. Корни $x^2-2x-8=0$ это $x=-2$ и $x=4$. Неравенство верно при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
2) Аргумент логарифма $\sqrt{-4x}$ должен быть строго положительным. $\sqrt{-4x} > 0 \Rightarrow -4x > 0 \Rightarrow x < 0$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x < -2$.

Преобразуем правую часть:
$2ln \sqrt{-4x} = ln ((\sqrt{-4x})^2) = ln(-4x)$.

Уравнение принимает вид:
$ln(x^2 - 2x - 8) = ln(-4x)$.

Приравниваем аргументы:
$x^2 - 2x - 8 = -4x$
$x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x < -2$):
$x_1=-4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -2$.
$x_2=2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4$.

397. Решите неравенство:

1) $ \log_6 (x + 1) < \log_6 (2x + 5); $

2) $ \log_2 (2x - 3) > \log_2 (3x - 5); $

3) $ \ln (x^2 - 3) > \ln (3x - 7); $

4) $ \log_{0.7} (3x - 1) < \log_{0.7} (3 - x); $

5) $ \log_{0.4} (x^2 + 1) > \log_{0.4} (2x + 25); $

6) $ \log_{\frac{1}{9}} (1 - x^2) > \log_{\frac{1}{9}} (2x + 2); $

7) $ 2\log_3 x - \log_3 (2x + 9) \le 1; $

8) $ \lg \frac{x+3}{x+4} > \lg \frac{x+5}{x+2}. $

1) $\log_6(x + 1) < \log_6(2x + 5)$

Данное логарифмическое неравенство имеет основание $a = 6$, которое больше 1. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подлогарифмические выражения должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x + 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -2.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -1$.

Теперь решим основное неравенство:
$x + 1 < 2x + 5$
$1 - 5 < 2x - x$
$-4 < x$

Найдем пересечение решения неравенства ($x > -4$) с ОДЗ ($x > -1$). Общим решением является интервал $x > -1$.

Ответ: $(-1; +\infty)$

2) $\log_2(2x - 3) > \log_2(3x - 5)$

Основание логарифма $a = 2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 3 \\ 3x > 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 5/3 \end{cases}$
Так как $5/3 \approx 1.67$, то пересечением является $x > 5/3$.

Решаем неравенство для подлогарифмических выражений:
$2x - 3 > 3x - 5$
$5 - 3 > 3x - 2x$
$2 > x$

Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x > 5/3$. Получаем интервал $5/3 < x < 2$.

Ответ: $(5/3; 2)$

3) $\ln(x^2 - 3) > \ln(3x - 7)$

Натуральный логарифм имеет основание $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ 3x - 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 > 3 \\ 3x > 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) \\ x > 7/3 \end{cases}$
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $7/3 \approx 2.333$, то ОДЗ: $x > 7/3$.

Решаем основное неравенство:
$x^2 - 3 > 3x - 7$
$x^2 - 3x + 4 > 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, парабола $y = x^2 - 3x + 4$ полностью лежит выше оси Ox, то есть неравенство $x^2 - 3x + 4 > 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Пересекаем решение $x \in (-\infty; +\infty)$ с ОДЗ $x > 7/3$.

Ответ: $(7/3; +\infty)$

4) $\log_{0.7}(3x - 1) < \log_{0.7}(3 - x)$

Основание логарифма $a = 0.7$, что находится в интервале $(0; 1)$. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный.

ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > 1 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (1/3; 3)$.

Решаем основное неравенство (с измененным знаком):
$3x - 1 > 3 - x$
$4x > 4$
$x > 1$

Найдем пересечение решения $x > 1$ с ОДЗ $x \in (1/3; 3)$. Общим решением является интервал $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$

5) $\log_{0.4}(x^2 + 1) > \log_{0.4}(2x + 25)$

Основание $a = 0.4 < 1$, поэтому знак неравенства меняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 + 1 > 0 \\ 2x + 25 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; +\infty) \\ 2x > -25 \end{cases} \Rightarrow x > -12.5$
Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно. ОДЗ: $x > -12.5$.

Решаем неравенство с измененным знаком:
$x^2 + 1 < 2x + 25$
$x^2 - 2x - 24 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 6, x_2 = -4$.
Неравенство $(x - 6)(x + 4) < 0$ выполняется на интервале $(-4; 6)$.

Пересекаем решение $x \in (-4; 6)$ с ОДЗ $x > -12.5$.

Ответ: $(-4; 6)$

6) $\log_{1/9}(1 - x^2) > \log_{1/9}(2x + 2)$

Основание $a = 1/9 < 1$, поэтому знак неравенства меняется.

ОДЗ:
$\begin{cases} 1 - x^2 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 < 1 \\ 2x > -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1 < x < 1 \\ x > -1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-1; 1)$.

Решаем неравенство с измененным знаком:
$1 - x^2 < 2x + 2$
$0 < x^2 + 2x + 1$
$0 < (x + 1)^2$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.

Пересекаем решение $x \ne -1$ с ОДЗ $x \in (-1; 1)$. Так как ОДЗ не включает точку $x=-1$, решением является само ОДЗ.

Ответ: $(-1; 1)$

7) $2\log_3 x - \log_3(2x + 9) \le 1$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:
$\log_3(x^2) - \log_3(2x + 9) \le \log_3(3)$
$\log_3\left(\frac{x^2}{2x + 9}\right) \le \log_3(3)$

ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 2x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -4.5 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 0$.

Основание $a = 3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2}{2x + 9} \le 3$
$\frac{x^2}{2x + 9} - 3 \le 0$
$\frac{x^2 - 3(2x + 9)}{2x + 9} \le 0$
$\frac{x^2 - 6x - 27}{2x + 9} \le 0$
Решим методом интервалов. Корни числителя $x^2 - 6x - 27 = 0$: $x_1 = 9, x_2 = -3$. Корень знаменателя $2x + 9 = 0$: $x = -4.5$.
Нанесем точки на числовую прямую: $-4.5, -3, 9$.
Знаки выражения на интервалах: $(+) \text{ на } (9; +\infty)$, $(-) \text{ на } (-3; 9)$, $(+) \text{ на } (-4.5; -3)$, $(-) \text{ на } (-\infty; -4.5)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4.5) \cup [-3; 9]$.

Пересекаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):
$x \in (0; 9]$.

Ответ: $(0; 9]$

8) $\lg \frac{x + 3}{x + 4} > \lg \frac{x + 5}{x + 2}$

Основание десятичного логарифма $a=10 > 1$, знак неравенства сохраняется.

ОДЗ:
1) $\frac{x + 3}{x + 4} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty)$
2) $\frac{x + 5}{x + 2} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$
Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$.

Решаем основное неравенство:
$\frac{x + 3}{x + 4} > \frac{x + 5}{x + 2}$
$\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{x + 5}{x + 2} > 0$
$\frac{(x + 3)(x + 2) - (x + 5)(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} > 0$
$\frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 9x + 20)}{(x + 4)(x + 2)} > 0$
$\frac{-4x - 14}{(x + 4)(x + 2)} > 0$
Решим методом интервалов. Корни: $x = -3.5, x = -4, x = -2$.
Знаки выражения на интервалах: $(+) \text{ на } (-\infty; -4)$, $(-) \text{ на } (-4; -3.5)$, $(+) \text{ на } (-3.5; -2)$, $(-) \text{ на } (-2; +\infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3.5; -2)$.

Пересекаем решение $x \in (-\infty; -4) \cup (-3.5; -2)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$.
Общим решением является интервал $(-\infty; -5)$.

Ответ: $(-\infty; -5)$

398. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5}}$

2) $f(x) = \log_3 \log_{0.3} \frac{x-2}{x+3}$

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5}}$, необходимо выполнить два условия:

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5} \ge 0$

2. Выражение, находящееся под знаком логарифма, должно быть строго положительным:
$\frac{x+1}{x-5} > 0$

Рассмотрим первое неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием 0.7: $0 = \log_{0.7} 1$.Неравенство принимает вид:
$\log_{0.7} \frac{x+1}{x-5} \ge \log_{0.7} 1$

Так как основание логарифма $0.7$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x+1}{x-5} \le 1$

Таким образом, область определения функции задается системой неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{x+1}{x-5} > 0 \\ \frac{x+1}{x-5} \le 1 \end{cases} $$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{x+1}{x-5} - 1 \le 0$
$\frac{x+1 - (x-5)}{x-5} \le 0$
$\frac{x+1 - x + 5}{x-5} \le 0$
$\frac{6}{x-5} \le 0$

Поскольку числитель 6 — положительное число, дробь будет неположительной, только если ее знаменатель будет отрицательным:
$x-5 < 0 \implies x < 5$.

Теперь решим первое неравенство системы $\frac{x+1}{x-5} > 0$ методом интервалов.Корни числителя и знаменателя: $x = -1$ и $x = 5$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5)$ и $(5, \infty)$.
Проверим знак дроби в каждом интервале:
- на $(-\infty, -1)$ дробь положительна (например, при $x=-2$ получаем $\frac{-1}{-7} > 0$);
- на $(-1, 5)$ дробь отрицательна (например, при $x=0$ получаем $\frac{1}{-5} < 0$);
- на $(5, \infty)$ дробь положительна (например, при $x=6$ получаем $\frac{7}{1} > 0$).
Решением неравенства $\frac{x+1}{x-5} > 0$ является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Для нахождения области определения функции найдем пересечение решений двух неравенств: $x < 5$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.
Пересечением этих множеств является интервал $(-\infty, -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

2) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \log_3 \log_{0.3} \frac{x-2}{x+3}$, необходимо, чтобы аргумент каждого логарифма был строго положительным.

1. Аргумент внешнего логарифма ($\log_3$) должен быть положительным:
$\log_{0.3} \frac{x-2}{x+3} > 0$

2. Аргумент внутреннего логарифма ($\log_{0.3}$) должен быть положительным:
$\frac{x-2}{x+3} > 0$

Решим первое неравенство. Представим 0 как $\log_{0.3} 1$:
$\log_{0.3} \frac{x-2}{x+3} > \log_{0.3} 1$

Так как основание логарифма $0.3 < 1$, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x-2}{x+3} < 1$

Таким образом, область определения задается системой из двух неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{x-2}{x+3} > 0 \\ \frac{x-2}{x+3} < 1 \end{cases} $$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{x-2}{x+3} - 1 < 0$
$\frac{x-2 - (x+3)}{x+3} < 0$
$\frac{x-2 - x - 3}{x+3} < 0$
$\frac{-5}{x+3} < 0$

Поскольку числитель -5 — отрицательное число, дробь будет отрицательной, только если ее знаменатель будет положительным:
$x+3 > 0 \implies x > -3$.

Теперь решим первое неравенство системы $\frac{x-2}{x+3} > 0$ методом интервалов.Корни числителя и знаменателя: $x = 2$ и $x = -3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, \infty)$.
Проверяя знаки, находим, что неравенство выполняется на интервалах $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Для нахождения области определения функции найдем пересечение решений двух неравенств: $x > -3$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Пересечением этих множеств является интервал $(2, \infty)$.

Ответ: $x \in (2, \infty)$.

399. Решите уравнение:

1) $ \lg (2x - 1) + \lg (x + 5) = \lg 13; $

2) $ \log_3 (2x - 7) + \log_3 (x - 1) = 2 + \log_3 2; $

3) $ \log_{0.5} (4 - x) + \log_{0.5} (x - 1) = -1; $

4) $ \log_7 (-x) + \log_7 (1 - x) = \log_7 (x + 3). $

1) $\lg(2x - 1) + \lg(x + 5) = \lg 13$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 1 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0.5 \\ x > -5 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0.5$.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\lg((2x - 1)(x + 5)) = \lg 13$
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(2x - 1)(x + 5) = 13$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 + 10x - x - 5 = 13$
$2x^2 + 9x - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > 0.5$).
Корень $x_1 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 < 0.5$.
Корень $x_2 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1.5 > 0.5$.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $1.5$

2) $\log_3(2x - 7) + \log_3(x - 1) = 2 + \log_3 2$
ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 7 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 7 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3.5 \\ x > 1 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 3.5$.

Преобразуем правую часть уравнения. Представим число 2 как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.
Уравнение примет вид:
$\log_3(2x - 7) + \log_3(x - 1) = \log_3 9 + \log_3 2$
Применим свойство суммы логарифмов к обеим частям уравнения:
$\log_3((2x - 7)(x - 1)) = \log_3(9 \cdot 2)$
$\log_3(2x^2 - 2x - 7x + 7) = \log_3 18$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$2x^2 - 9x + 7 = 18$
$2x^2 - 9x - 11 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$
$x_1 = \frac{9 - 13}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{9 + 13}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 3.5$).
$x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 5.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $5.5$

3) $\log_{0.5}(4 - x) + \log_{0.5}(x - 1) = -1$
ОДЗ: $\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 1 \end{cases}$
ОДЗ: $1 < x < 4$.

Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_{0.5}((4 - x)(x - 1)) = -1$
По определению логарифма ($y = \log_a x \iff a^y = x$):
$(4 - x)(x - 1) = 0.5^{-1}$
$(4 - x)(x - 1) = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$4x - 4 - x^2 + x = 2$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
Умножим на -1, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Оба корня, $2$ и $3$, принадлежат интервалу ОДЗ ($1 < x < 4$).
Ответ: $2; 3$

4) $\log_7(-x) + \log_7(1 - x) = \log_7(x + 3)$
ОДЗ: $\begin{cases} -x > 0 \\ 1 - x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 1 \\ x > -3 \end{cases}$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $-3 < x < 0$.

Применяем свойство суммы логарифмов к левой части уравнения:
$\log_7((-x)(1 - x)) = \log_7(x + 3)$
Приравниваем аргументы:
$(-x)(1 - x) = x + 3$
$-x + x^2 = x + 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($-3 < x < 0$).
$x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < -1 < 0$.
Ответ: $-1$

400. Решите неравенство:

1) $ \log_2 x + \log_2 (x + 1) \le 1; $

2) $ \log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x - 1) \ge \log_{\frac{1}{6}} (x + 3); $

3) $ \log_3 (4 - x) + \log_3 (x + 3) \le 1 + \log_3 (x - 1); $

4) $ \log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3 - 1. $

1) $\log_2 x + \log_2 (x + 1) \le 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \implies x > 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2 (x(x+1)) \le 1$

Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2 (x^2 + x) \le \log_2 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 + x \le 2$

$x^2 + x - 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + x - 2$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 + x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-2; 1]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ -2 \le x \le 1 \end{cases} \implies 0 < x \le 1$

Ответ: $(0; 1]$.

2) $\log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x - 1) \ge \log_{\frac{1}{6}} (x + 3)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > 1$

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{6}} (x(x-1)) \ge \log_{\frac{1}{6}} (x + 3)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x-1) \le x + 3$

$x^2 - x \le x + 3$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке $x \in [-1; 3]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1 \\ -1 \le x \le 3 \end{cases} \implies 1 < x \le 3$

Ответ: $(1; 3]$.

3) $\log_3 (4 - x) + \log_3 (x + 3) \le 1 + \log_3 (x - 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x > -3 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 4$

ОДЗ: $x \in (1; 4)$.

Перенесем логарифм из правой части в левую и преобразуем неравенство:

$\log_3 (4 - x) + \log_3 (x + 3) - \log_3 (x - 1) \le 1$

Используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$, получаем:

$\log_3 \frac{(4 - x)(x + 3)}{x - 1} \le 1$

Представим 1 как $\log_3 3$:

$\log_3 \frac{(4 - x)(x + 3)}{x - 1} \le \log_3 3$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{(4 - x)(x + 3)}{x - 1} \le 3$

$\frac{-x^2 + x + 12}{x - 1} - 3 \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 12 - 3(x - 1)}{x - 1} \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 12 - 3x + 3}{x - 1} \le 0$

$\frac{-x^2 - 2x + 15}{x - 1} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 + 2x - 15}{x - 1} \ge 0$

$\frac{(x + 5)(x - 3)}{x - 1} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -5, x = 3$. Ноль знаменателя: $x = 1$.

На числовой прямой отмечаем точки -5, 1, 3. Точки -5 и 3 закрашенные, точка 1 выколотая.

Интервалы, где выражение неотрицательно: $[-5; 1) \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (1; 4)$:

Пересечением множеств $[-5; 1) \cup [3; +\infty)$ и $(1; 4)$ является интервал $[3; 4)$.

Ответ: $[3; 4)$.

4) $\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3 - 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > -2$

ОДЗ: $x \in (-2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{\frac{1}{2}} 2$

Используем свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}} ((x+2)(x+3)) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 2$

$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 5x + 6) \ge \log_{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2)$

$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 5x + 6) \ge \log_{\frac{1}{2}} 6$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 5x + 6 \le 6$

$x^2 + 5x \le 0$

$x(x + 5) \le 0$

Корни уравнения $x(x+5)=0$ равны $x=0$ и $x=-5$. Парабола $y = x^2 + 5x$ ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5; 0]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > -2 \\ -5 \le x \le 0 \end{cases} \implies -2 < x \le 0$

Ответ: $(-2; 0]$.