Страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

350. Докажите, что $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$.

Для доказательства тождества $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$ преобразуем его левую часть. Основной формулой, которую мы будем использовать, является формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Обозначим левую часть равенства как $L$:

$L = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$

Умножим и разделим выражение на $2\sin 20^\circ$. Это допустимо, поскольку $\sin 20^\circ \neq 0$.

$L = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

В числителе мы видим выражение $2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$, которое по формуле синуса двойного угла равно $\sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin 40^\circ$. Подставим это в наше выражение:

$L = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

Теперь в числителе мы имеем произведение $\sin 40^\circ \cos 40^\circ$. Чтобы снова применить формулу двойного угла, умножим числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 2\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ}$

Повторим этот шаг еще раз для произведения $\sin 80^\circ \cos 80^\circ$:

$L = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 4\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Применив ее, получаем: $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Подставим полученный результат обратно в выражение для $L$:

$L = \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ}$

Сократив $\sin 20^\circ$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:

$L = \frac{1}{8}$

Таким образом, мы доказали, что левая часть исходного равенства равна $\frac{1}{8}$, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

351. Докажите тождество:

1) $\sin 3\alpha - \sin \alpha + \sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 4 \sin \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha;$

2) $\frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha - \sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha.$

1) Докажем тождество $ \sin 3\alpha - \sin \alpha + \sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 4 \sin \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые:

$ (\sin 7\alpha - \sin 5\alpha) + (\sin 3\alpha - \sin \alpha) $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

Применим эту формулу к каждой группе слагаемых:

$ \sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 2 \cos\left(\frac{7\alpha+5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}\right) = 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha) $

$ \sin 3\alpha - \sin \alpha = 2 \cos\left(\frac{3\alpha+\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{3\alpha-\alpha}{2}\right) = 2 \cos(2\alpha) \sin(\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$ 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha) + 2 \cos(2\alpha) \sin(\alpha) $

Вынесем общий множитель $ 2 \sin(\alpha) $ за скобки:

$ 2 \sin(\alpha) (\cos(6\alpha) + \cos(2\alpha)) $

Теперь применим формулу суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

$ \cos(6\alpha) + \cos(2\alpha) = 2 \cos\left(\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{6\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \cos(4\alpha) \cos(2\alpha) $

Подставим это в наше выражение:

$ 2 \sin(\alpha) \cdot (2 \cos(4\alpha) \cos(2\alpha)) = 4 \sin\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha $

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha - \sin 2\alpha} = \cot 2\alpha $.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части.

Числитель: $ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha $.

К первым двум слагаемым применим формулу суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

$ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\left(\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{6\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \sin(4\alpha) \cos(2\alpha) $

Тогда числитель примет вид:

$ 2 \sin(4\alpha) \cos(2\alpha) - \cos 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ \cos 2\alpha $ за скобки:

$ \cos 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1) $

Знаменатель: $ \cos 2\alpha - \cos 6\alpha - \sin 2\alpha $.

К первым двум слагаемым применим формулу разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

$ \cos 2\alpha - \cos 6\alpha = -2 \sin\left(\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha-6\alpha}{2}\right) = -2 \sin(4\alpha) \sin(-2\alpha) $

Так как $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:

$ -2 \sin(4\alpha) (-\sin(2\alpha)) = 2 \sin 4\alpha \sin 2\alpha $

Тогда знаменатель примет вид:

$ 2 \sin 4\alpha \sin 2\alpha - \sin 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin 2\alpha $ за скобки:

$ \sin 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1) $

Теперь составим дробь из преобразованных числителя и знаменателя:

$ \frac{\cos 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1)}{\sin 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1)} $

Сократим общий множитель $ (2 \sin 4\alpha - 1) $, при условии, что он не равен нулю:

$ \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \cot 2\alpha $

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

352. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 7\alpha - \sin 3\alpha}{\cos 4\alpha - 1};$

2) $\frac{1 - \cos(2\alpha - \pi) + \cos(4\alpha + 2\pi) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} - 6\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) + 1 - 2\sin^2(2\pi - 2\alpha)};$

3) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right).$

1) Упростим по частям. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos 5\alpha - \cos 3\alpha \sin 5\alpha}{\sin 5\alpha \cos 5\alpha} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \sin 3\alpha \cos 5\alpha - \cos 3\alpha \sin 5\alpha = \sin(3\alpha - 5\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ \sin 5\alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2} \sin 10\alpha $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{-\sin 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 10\alpha} = -\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 10\alpha} $

Теперь преобразуем вторую дробь. В числителе применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $:

$ \sin 7\alpha - \sin 3\alpha = 2\sin\frac{7\alpha-3\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha+3\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos 5\alpha $

В знаменателе используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $, из которой следует $ \cos 4\alpha - 1 = -2\sin^2 2\alpha $:

$ \frac{\sin 7\alpha - \sin 3\alpha}{\cos 4\alpha - 1} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 5\alpha}{-2\sin^2 2\alpha} = -\frac{\cos 5\alpha}{\sin 2\alpha} $

Перемножим полученные выражения:

$ \left(-\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 10\alpha}\right) \cdot \left(-\frac{\cos 5\alpha}{\sin 2\alpha}\right) = \frac{2\sin 2\alpha \cos 5\alpha}{\sin 10\alpha \sin 2\alpha} = \frac{2\cos 5\alpha}{\sin 10\alpha} $

Снова применим формулу синуса двойного угла для знаменателя: $ \sin 10\alpha = 2\sin 5\alpha \cos 5\alpha $.

$ \frac{2\cos 5\alpha}{2\sin 5\alpha \cos 5\alpha} = \frac{1}{\sin 5\alpha} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin 5\alpha} $

2) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Преобразуем числитель:

$ \cos(2\alpha - \pi) = \cos(\pi - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $
$ \cos(4\alpha + 2\pi) = \cos(4\alpha) $
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - 6\alpha) = -\cos(6\alpha) $
Числитель принимает вид: $ 1 - (-\cos(2\alpha)) + \cos(4\alpha) - (-\cos(6\alpha)) = 1 + \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(6\alpha) $.

Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (1 + \cos(4\alpha)) + (\cos(2\alpha) + \cos(6\alpha)) $.
Используем формулу $ 1+\cos 2x = 2\cos^2 x $ и формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ 1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) $
$ \cos(2\alpha) + \cos(6\alpha) = 2\cos\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(4\alpha)\cos(2\alpha) $
Числитель: $ 2\cos^2(2\alpha) + 2\cos(4\alpha)\cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $
$ 1 - 2\sin^2(2\pi - 2\alpha) = 1 - 2(-\sin(2\alpha))^2 = 1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha) $
Знаменатель принимает вид: $ \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) $.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$ \frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))}{\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)} = 2\cos(2\alpha) $

Ответ: $ 2\cos(2\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ \cos^2(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) $ воспользуемся тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x - \sin^2 y = \cos(x+y)\cos(x-y) $.

В нашем случае:

$ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} $
$ y = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} $

Найдем сумму и разность этих углов:

$ x + y = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{6\pi}{12} + \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha $
$ x - y = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} $

Подставим найденные значения в правую часть тождества:

$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ и значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $:

$ (-\sin\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\alpha $

Ответ: $ -\frac{1}{2}\sin\alpha $

353. Докажите тождество:

1) $ \sin 2\alpha + 2\sin \left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) \cos \left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right) = -1; $

2) $ \sin 8\alpha \sin 4\alpha + \cos 7\alpha \cos 5\alpha = \cos 3\alpha \cos \alpha. $

1)

Докажем тождество: $sin(2\alpha) + 2\sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{4} + \alpha) = -1$.
Преобразуем левую часть равенства. Для преобразования произведения синуса на косинус воспользуемся формулой $2\sin(A)\cos(B) = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.
В нашем случае $A = \frac{3\pi}{4} - \alpha$ и $B = \frac{3\pi}{4} + \alpha$.
Найдем $A+B$ и $A-B$:
$A+B = (\frac{3\pi}{4} - \alpha) + (\frac{3\pi}{4} + \alpha) = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$.
$A-B = (\frac{3\pi}{4} - \alpha) - (\frac{3\pi}{4} + \alpha) = -2\alpha$.
Подставим эти значения в формулу:
$2\sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(-2\alpha)$.
Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:
$\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(-2\alpha) = -1 - \sin(2\alpha)$.
Теперь подставим это выражение в исходное тождество:
$\sin(2\alpha) + (-1 - \sin(2\alpha)) = \sin(2\alpha) - 1 - \sin(2\alpha) = -1$.
Левая часть равна правой части ($-1 = -1$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество: $\sin(8\alpha)\sin(4\alpha) + \cos(7\alpha)\cos(5\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.
Преобразуем левую часть тождества, используя формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$
$\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$
Применим эти формулы к каждому слагаемому в левой части.
Для первого слагаемого $\sin(8\alpha)\sin(4\alpha)$:
$\sin(8\alpha)\sin(4\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(8\alpha-4\alpha) - \cos(8\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha))$.
Для второго слагаемого $\cos(7\alpha)\cos(5\alpha)$:
$\cos(7\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(7\alpha-5\alpha) + \cos(7\alpha+5\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(12\alpha))$.
Теперь сложим полученные выражения:
$\sin(8\alpha)\sin(4\alpha) + \cos(7\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(12\alpha))$
$= \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(12\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha))$.
Теперь преобразуем полученную сумму косинусов в произведение по формуле $\cos(x)+\cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$:
$\frac{1}{2}(\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos(\frac{4\alpha+2\alpha}{2})\cos(\frac{4\alpha-2\alpha}{2}) = \cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.
Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части ($\cos(3\alpha)\cos(\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(\alpha)$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

354. Вычислите:

1) $ \operatorname{tg} \left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

2) $ \cos \left(2\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

3) $ \sin \left(2\operatorname{arctg} 1 - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

4) $ \operatorname{tg} \left(\operatorname{arcctg} \left(-\sqrt{3}\right) + \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}\right). $

Вычислим значение выражения $\operatorname{tg}(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Сначала найдем значение арккосинуса. По определению, $\arccos x$ - это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos\alpha = x$.

В нашем случае, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ - это угол из $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

Итак, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\operatorname{tg}(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вычислим значение выражения $\cos(2\arccos(-\frac{1}{2}))$.

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ и $\alpha \in [0; \pi]$.

Нам нужно вычислить $\cos(2\alpha)$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим значение $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ в формулу:

$\cos(2\alpha) = 2\cdot(-\frac{1}{2})^2 - 1 = 2\cdot\frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos(2\arccos(-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Вычислим значение выражения $\sin(2\operatorname{arctg}1 - \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Сначала найдем значения аркфункций в скобках.

По определению, $\operatorname{arctg} x$ - это угол из $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

$\operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

По определению, $\arcsin x$ - это угол из $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sin(2\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение синуса для этого угла является табличным: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычислим значение выражения $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Сначала найдем значения аркфункций в скобках.

По определению, $\operatorname{arcctg} x$ - это угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Ищем угол $\alpha \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg}\alpha = -\sqrt{3}$. Так как значение котангенса отрицательное, угол находится во второй четверти. Опорный угол, для которого котангенс равен $\sqrt{3}$, это $\frac{\pi}{6}$. Тогда искомый угол $\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Итак, $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

По определению, $\operatorname{arctg} x$ - это угол $\beta$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

$\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\frac{6\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\pi)$.

Значение тангенса для этого угла является табличным: $\operatorname{tg}(\pi) = 0$.

Ответ: $0$.

355. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin (x - 5);$

2) $y = \arccos (x^2 - 3);$

3) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{6 - x}.$

1) $y = \arcsin(x - 5)$

Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(u)$, задается условием $-1 \le u \le 1$.

В нашем случае аргументом функции является выражение $x-5$. Следовательно, для нахождения области определения функции $y = \arcsin(x - 5)$ необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le x - 5 \le 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 + 5 \le x - 5 + 5 \le 1 + 5$

$4 \le x \le 6$

Таким образом, область определения функции представляет собой отрезок от 4 до 6, включая концы.

Ответ: $D(y) = [4; 6]$.

2) $y = \arccos(x^2 - 3)$

Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(u)$, так же, как и у арксинуса, задается условием $-1 \le u \le 1$.

В данном случае аргументом является $x^2 - 3$. Составим и решим соответствующее двойное неравенство:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3 \ge -1 \\ x^2 - 3 \le 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$x^2 - 3 \ge -1$

$x^2 \ge 2$

Решением этого неравенства являются $x \le -\sqrt{2}$ и $x \ge \sqrt{2}$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Второе неравенство:

$x^2 - 3 \le 1$

$x^2 \le 4$

Решением этого неравенства является $-2 \le x \le 2$, то есть $x \in [-2; 2]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. На числовой оси это будет пересечение множеств $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$.

Пересечением являются два отрезка: $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

3) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{6 - x}$

Область определения функции арктангенс, $y = \operatorname{arctg}(u)$, — все действительные числа, то есть $u \in (-\infty; +\infty)$.

Однако в данном случае аргумент функции $u = \sqrt{6-x}$ имеет собственное ограничение: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$6 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$6 \ge x$

или

$x \le 6$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 6.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 6]$.

356. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{4};$

2) $y = 5 - 3\operatorname{arctg} \frac{x}{2}.$

1) Чтобы найти область значений функции $y=2\arcsin x-\frac{\pi}{4}$, нужно исходить из области значений функции арксинус.

Область значений функции $f(t)=\arcsin t$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Это означает, что для любого $x$ из области определения (в данном случае $x \in [-1; 1]$) выполняется двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы получить выражение для $y$, преобразуем это неравенство. Сначала умножим все его части на 2:

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2\arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi$

Теперь вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{4}$:

$-\pi - \frac{\pi}{4} \le 2\arcsin x - \frac{\pi}{4} \le \pi - \frac{\pi}{4}$

Упростим левую и правую части:

$-\frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{5\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

2) Для нахождения области значений функции $y=5-3\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ будем исходить из области значений функции арктангенс.

Область значений функции $f(t)=\operatorname{arctg} t$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Аргумент $\frac{x}{2}$ может принимать любые действительные значения, поэтому для $\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ справедливо строгое неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$

Преобразуем это неравенство. Сначала умножим все части на -3. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} > -3 \cdot \frac{\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{2} > -3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} > -\frac{3\pi}{2}$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{3\pi}{2} < -3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$5 - \frac{3\pi}{2} < 5 - 3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2}$

$5 - \frac{3\pi}{2} < y < 5 + \frac{3\pi}{2}$

Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(5 - \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $(5 - \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2})$.

357. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для решения уравнения $ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ сначала найдем его общее решение. Аргумент синуса, $ x + \frac{\pi}{4} $, должен быть равен углам, синус которых составляет $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ записывается в виде совокупности двух серий: $ y = \arcsin(a) + 2\pi n $ и $ y = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

В нашем случае $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $. Таким образом, получаем две серии решений для аргумента $ x + \frac{\pi}{4} $:

1) $ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

2) $ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Теперь выразим $ x $ из каждого уравнения.

Для первой серии решений:$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для второй серии решений:$ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого будем перебирать целые значения $ n $, чтобы получить отрицательные значения $ x $.

Рассмотрим корни из первой серии $ x = 2\pi n $:
При $ n = 0 $, $ x = 0 $ (не является отрицательным).
При $ n = -1 $, $ x = -2\pi $.
При $ n = -2 $, $ x = -4\pi $ (этот корень меньше, чем $ -2\pi $).
Наибольший отрицательный корень из этой серии — $ -2\pi $.

Рассмотрим корни из второй серии $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $:
При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ (положительный корень).
При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} $.
При $ n = -2 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi - 8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2} $ (этот корень меньше, чем $ -\frac{3\pi}{2} $).
Наибольший отрицательный корень из этой серии — $ -\frac{3\pi}{2} $.

Сравним два найденных наибольших отрицательных корня: $ -2\pi $ и $ -\frac{3\pi}{2} $.
Так как $ 2\pi = \frac{4\pi}{2} $, а $ \frac{4\pi}{2} > \frac{3\pi}{2} $, то $ 2\pi > \frac{3\pi}{2} $.
Для отрицательных чисел неравенство меняет знак: $ -2\pi < -\frac{3\pi}{2} $.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $ -\frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2} $

358. Сколько корней уравнения $tg 3x = \sqrt{3}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\operatorname{tg}(3x) = \sqrt{3}$.

Аргумент тангенса $3x$ можно выразить через арктангенс:

$3x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Так как $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь найдем общее решение для $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо определить, сколько из этих корней попадает в заданный промежуток $[0; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не изменятся):

$0 \le \frac{1}{9} + \frac{n}{3} \le 1$

Вычтем $\frac{1}{9}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{9} \le \frac{n}{3} \le 1 - \frac{1}{9}$

$-\frac{1}{9} \le \frac{n}{3} \le \frac{8}{9}$

Умножим все части неравенства на 3:

$-\frac{3}{9} \le n \le \frac{24}{9}$

$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{8}{3}$

Переводя в десятичные дроби, получаем приблизительный интервал для $n$:

$-0.33... \le n \le 2.66...$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, возможными значениями для $n$ являются $0, 1, 2$.

Таким образом, в указанном промежутке существует 3 корня. Найдем их для проверки:

1. При $n=0$: $x_1 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{9}$

2. При $n=1$: $x_2 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 1}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$

3. При $n=2$: $x_3 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 2}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$

Все три корня $(\frac{\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{7\pi}{9})$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$.

Ответ: 3