Страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

281. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = x - 3$ и $y = x^2 - 4x + 3$;

2) $y = 2x^2 - 3x$ и $y = -x^2 + x + 7$;

3) $y = x^6$ и $y = 2x^4$;

4) $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 5$;

5) $y = \sqrt{10 - 3x}$ и $y = -x$;

6) $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = \sqrt{2x - 3} + 1$.

1) Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x - 3$ и $y = x^2 - 4x + 3$ необходимо приравнять выражения для $y$:
$x - 3 = x^2 - 4x + 3$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$x^2 - 4x - x + 3 + 3 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, разложив на множители: $(x-2)(x-3)=0$.
Отсюда получаем два значения $x$:
$x_1 = 2$
$x_2 = 3$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любую из исходных функций. Возьмем $y = x - 3$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 - 3 = -1$.
При $x_2 = 3$, $y_2 = 3 - 3 = 0$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(2, -1)$, $(3, 0)$.

2) Приравняем функции $y = 2x^2 - 3x$ и $y = -x^2 + x + 7$:
$2x^2 - 3x = -x^2 + x + 7$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x^2 - 3x - x - 7 = 0$
$3x^2 - 4x - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Найдем соответствующие значения $y$. Используем функцию $y = -x^2 + x + 7$:
При $x_1 = \frac{7}{3}$, $y_1 = -(\frac{7}{3})^2 + \frac{7}{3} + 7 = -\frac{49}{9} + \frac{21}{9} + \frac{63}{9} = \frac{35}{9}$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1)^2 + (-1) + 7 = -1 - 1 + 7 = 5$.
Координаты точек пересечения.
Ответ: $(-1, 5)$, $(\frac{7}{3}, \frac{35}{9})$.

3) Приравняем функции $y = x^6$ и $y = 2x^4$:
$x^6 = 2x^4$
$x^6 - 2x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:
$x^4(x^2 - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^4 = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в $y = 2x^4$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2(0)^4 = 0$.
При $x_2 = \sqrt{2}$, $y_2 = 2(\sqrt{2})^4 = 2 \cdot 4 = 8$.
При $x_3 = -\sqrt{2}$, $y_3 = 2(-\sqrt{2})^4 = 2 \cdot 4 = 8$.
Получаем три точки пересечения.
Ответ: $(0, 0)$, $(-\sqrt{2}, 8)$, $(\sqrt{2}, 8)$.

4) Приравняем функции $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 5$. Область определения $x \neq 0$.
$\frac{6}{x} = x + 5$
Умножим обе части на $x$:
$6 = x(x+5)$
$x^2 + 5x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x+5$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 + 5 = 6$.
При $x_2 = -6$, $y_2 = -6 + 5 = -1$.
Координаты точек пересечения.
Ответ: $(-6, -1)$, $(1, 6)$.

5) Приравняем функции $y = \sqrt{10 - 3x}$ и $y = -x$:
$\sqrt{10 - 3x} = -x$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $10 - 3x \ge 0 \implies x \le \frac{10}{3}$. Также значение квадратного корня неотрицательно, поэтому $-x \ge 0 \implies x \le 0$. Итоговая ОДЗ: $x \le 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$10 - 3x = (-x)^2$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 0$): $x_1=2$ не подходит, $x_2=-5$ подходит.
Найдем $y$ для $x = -5$ по формуле $y = -x$:
$y = -(-5) = 5$.
Найдена одна точка пересечения.
Ответ: $(-5, 5)$.

6) Приравняем функции $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = \sqrt{2x - 3} + 1$:
$\sqrt{x + 2} = \sqrt{2x - 3} + 1$
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$ и $2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$. Общее ОДЗ: $x \ge 1.5$.
Возведем обе части в квадрат:
$x + 2 = (2x - 3) + 2\sqrt{2x - 3} + 1$
$x + 2 = 2x - 2 + 2\sqrt{2x - 3}$
Уединим корень:
$4 - x = 2\sqrt{2x - 3}$
Для существования решения левая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$. С учетом ОДЗ, $1.5 \le x \le 4$.
Снова возведем в квадрат:
$(4 - x)^2 = 4(2x - 3)$
$16 - 8x + x^2 = 8x - 12$
$x^2 - 16x + 28 = 0$
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$
$x_1 = \frac{16 + 12}{2} = 14$ (не входит в интервал $1.5 \le x \le 4$)
$x_2 = \frac{16 - 12}{2} = 2$ (входит в интервал)
Найдем $y$ для $x = 2$ по формуле $y = \sqrt{x+2}$:
$y = \sqrt{2+2} = 2$.
Найдена одна точка пересечения.
Ответ: $(2, 2)$.

282. Задайте формулой прямую пропорциональность, если известно, что её график проходит через точку $M(3; -7)$.

Прямая пропорциональность — это функция, задаваемая формулой вида $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат.

В условии задачи сказано, что график функции проходит через точку $M(3; -7)$. Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем подставить значения $x=3$ и $y=-7$ в общую формулу $y = kx$, чтобы найти неизвестный коэффициент $k$.

Подставляем координаты:

$-7 = k \cdot 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:

$k = \frac{-7}{3}$

$k = -\frac{7}{3}$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь, зная $k$, мы можем записать искомую формулу, подставив найденное значение в общий вид уравнения:

$y = -\frac{7}{3}x$

Ответ: $y = -\frac{7}{3}x$

ее график проходит через точку $M(5; -7)$.

283. Найдите значение $b$, если известно, что график функции $y = -\frac{1}{6}x + b$ проходит через точку $M(12; 5)$.

Дана функция $y = -\frac{1}{6}x + b$.

По условию, график этой функции проходит через точку $M$ с координатами $(12; 5)$. Это означает, что если мы подставим в уравнение функции значение $x = 12$, то значение $y$ должно быть равно $5$.

Подставим значения $x = 12$ и $y = 5$ в уравнение функции, чтобы найти неизвестный параметр $b$:
$5 = -\frac{1}{6} \cdot 12 + b$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала выполним умножение:
$-\frac{1}{6} \cdot 12 = -\frac{12}{6} = -2$

Уравнение принимает вид:
$5 = -2 + b$

Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения. Для этого перенесем $-2$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный:
$b = 5 + 2$
$b = 7$

Таким образом, мы нашли искомое значение параметра $b$.
Ответ: $7$

284. Найдите значение $k$, если известно, что график функции $y = kx - 10$ проходит через точку $M (-4; 2)$.

Дана линейная функция $y = kx - 10$. Нам известно, что график этой функции проходит через точку $M$ с координатами $(-4; 2)$.

Тот факт, что график функции проходит через точку $M$, означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Координаты точки $M(-4; 2)$ — это $x = -4$ и $y = 2$.

Подставим эти значения в уравнение функции:

$2 = k \cdot (-4) - 10$

Теперь мы получили линейное уравнение с одной неизвестной $k$. Решим его:

$2 = -4k - 10$

Перенесем слагаемое $-10$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный:

$2 + 10 = -4k$

$12 = -4k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $k$, то есть на $-4$:

$k = \frac{12}{-4}$

$k = -3$

Таким образом, мы нашли искомое значение коэффициента $k$.

Ответ: -3

285. График функции $y = kx + b$ пересекает оси координат в точках $A (0; -3)$ и $B (1; 0)$. Найдите значения $k$ и $b$.

Для нахождения значений коэффициентов $k$ и $b$ в уравнении линейной функции $y = kx + b$ мы используем тот факт, что ее график проходит через заданные точки $A(0; -3)$ и $B(1; 0)$. Это означает, что координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению функции.

Мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $b$), подставив координаты каждой точки в исходное уравнение.

1. Подставим координаты точки $A(0; -3)$ в уравнение $y = kx + b$. Для этой точки $x=0$ и $y=-3$:
$-3 = k \cdot 0 + b$
$-3 = 0 + b$
$b = -3$
Из этого уравнения мы сразу находим значение коэффициента $b$.

2. Теперь подставим координаты точки $B(1; 0)$ в уравнение $y = kx + b$. Для этой точки $x=1$ и $y=0$:
$0 = k \cdot 1 + b$
$0 = k + b$

3. У нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} b = -3 \\ k + b = 0 \end{cases}$
Подставим значение $b = -3$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $k$:
$k + (-3) = 0$
$k - 3 = 0$
$k = 3$

Таким образом, мы определили значения обоих коэффициентов.

Ответ: $k = 3$, $b = -3$.

286. Все точки графика функции $y = kx + b$ имеют одинаковую ординату, равную $-5$. Найдите значения $k$ и $b$.

Согласно условию, все точки графика функции $y = kx + b$ имеют одинаковую ординату (координату $y$), равную -5. Это означает, что значение $y$ не зависит от значения $x$ и всегда равно -5.

Уравнение такой функции можно записать как $y = -5$.

Теперь нам нужно сопоставить это уравнение с общей формой линейной функции $y = kx + b$. Чтобы равенство $kx + b = -5$ выполнялось для любого значения $x$, необходимо, чтобы слагаемое, содержащее $x$, было равно нулю. Это возможно только в том случае, если коэффициент $k$ равен нулю.

Итак, мы устанавливаем, что $k = 0$.

Подставим это значение в исходное уравнение: $y = 0 \cdot x + b$ $y = b$

Так как мы знаем из условия, что ордината любой точки графика равна -5 (то есть $y = -5$), мы можем сделать вывод: $b = -5$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.

Ответ: $k=0, b=-5$.

287. График функции $y = kx + b$ параллелен оси абсцисс и проходит через точку A $(7; -5)$. Найдите значения $k$ и $b$.

Уравнение линейной функции имеет общий вид $y = kx + b$.

Согласно условию, график функции параллелен оси абсцисс (оси Ox). Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой отвечает за ее наклон. Прямая может быть параллельна оси абсцисс только в том случае, если она является горизонтальной. Угловой коэффициент любой горизонтальной прямой равен нулю.

Следовательно, мы можем определить значение коэффициента $k$:$k = 0$

Теперь уравнение нашей функции принимает более простой вид:$y = 0 \cdot x + b$$y = b$

Это уравнение описывает горизонтальную прямую, все точки которой имеют одинаковую ординату (координату y), равную $b$.

Также по условию известно, что эта прямая проходит через точку $A(7; -5)$. Это означает, что координаты данной точки должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим координаты точки $A$ в наше уравнение $y = b$. Нам нужна только ордината точки, которая равна -5.

$-5 = b$

Таким образом, мы нашли оба искомых коэффициента.

Ответ: $k=0, b=-5$.

288. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке 8.

Рис. 8

$y$

$x$

$0$

$1$

$1$

Для того чтобы задать линейную функцию формулой, необходимо определить её угловой коэффициент $k$ и свободный член $b$ в уравнении вида $y = kx + b$.

1. Найдём коэффициент $b$

Коэффициент $b$ соответствует ординате точки, в которой график функции пересекает ось $y$. Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 3)$. Таким образом, $b = 3$.

2. Найдём угловой коэффициент $k$

Угловой коэффициент $k$ можно найти, используя координаты двух точек, принадлежащих прямой. Воспользуемся формулой:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Выберем на графике две точки с целочисленными координатами для удобства вычислений. Возьмем точку $A(0; 3)$, которую мы уже определили, и еще одну точку, например, $B(-2; -1)$.

Подставим координаты этих точек в формулу:

$k = \frac{3 - (-1)}{0 - (-2)} = \frac{3 + 1}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, угловой коэффициент $k = 2$.

3. Запишем итоговую формулу

Теперь, зная значения $k=2$ и $b=3$, подставим их в общее уравнение линейной функции $y = kx + b$.

Получаем искомую формулу: $y = 2x + 3$.

Ответ: $y = 2x + 3$.

289. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку:

1) A (-5; 8);

2) B $(\frac{1}{3}; -6)$.

Чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через заданную точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что если мы подставим значения $x$ и $y$ из координат точки в уравнение, мы получим верное равенство. Используя это, мы можем найти неизвестный коэффициент $k$.

1) Дана точка $A(-5; 8)$. Здесь $x = -5$ и $y = 8$.
Подставим эти значения в уравнение функции $y = \frac{k}{x}$:
$8 = \frac{k}{-5}$
Теперь, чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на $-5$:
$k = 8 \cdot (-5)$
$k = -40$
Ответ: $k = -40$.

2) Дана точка $B\left(\frac{1}{3}; -6\right)$. Здесь $x = \frac{1}{3}$ и $y = -6$.
Подставим эти значения в уравнение функции $y = \frac{k}{x}$:
$-6 = \frac{k}{\frac{1}{3}}$
Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на $\frac{1}{3}$:
$k = -6 \cdot \frac{1}{3}$
$k = -\frac{6}{3}$
$k = -2$
Ответ: $k = -2$.

290. При каких значениях $p$ и $q$ график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $A(-1; 4)$ и $B(-2; 3)$?

Для того чтобы график функции $y = x^2 + px + q$ проходил через заданные точки, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек $A(-1; 4)$ и $B(-2; 3)$ в уравнение, чтобы составить систему уравнений и найти неизвестные коэффициенты $p$ и $q$.

Сначала подставим координаты точки $A(-1; 4)$, где $x = -1$ и $y = 4$:

$4 = (-1)^2 + p \cdot (-1) + q$

$4 = 1 - p + q$

Из этого получим первое уравнение: $q - p = 3$.

Теперь подставим координаты точки $B(-2; 3)$, где $x = -2$ и $y = 3$:

$3 = (-2)^2 + p \cdot (-2) + q$

$3 = 4 - 2p + q$

Из этого получим второе уравнение: $q - 2p = -1$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: первое уравнение $q - p = 3$ и второе $q - 2p = -1$. Решим эту систему. Для этого выразим $q$ из первого уравнения:

$q = p + 3$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(p + 3) - 2p = -1$

$3 - p = -1$

$-p = -1 - 3$

$-p = -4$

$p = 4$

Теперь найдем значение $q$, подставив найденное значение $p = 4$ в выражение $q = p + 3$:

$q = 4 + 3$

$q = 7$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $p = 4$ и $q = 7$.

Ответ: $p=4, q=7$.

291. График квадратичной функции – парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точку $(-4; 12)$. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид квадратичной функции, график которой представляет собой параболу с вершиной в начале координат (точке $ (0; 0) $), задается формулой $y = ax^2$. В этой формуле $a$ — это коэффициент, значение которого нам необходимо определить.

Согласно условию, парабола проходит через точку с координатами $(-4; 12)$. Это означает, что при подстановке $x = -4$ и $y = 12$ в уравнение функции, мы получим верное равенство. Используем это, чтобы найти коэффициент $a$.

Подставим значения координат точки в уравнение $y = ax^2$:

$12 = a \cdot (-4)^2$

Вычислим квадрат числа $-4$:

$12 = a \cdot 16$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$a = \frac{12}{16}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$a = \frac{3}{4}$

Теперь, когда мы нашли значение коэффициента $a$, мы можем записать окончательную формулу для данной квадратичной функции.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x^2$

292. График квадратичной функции – парабола с вершиной в точке $A (0; 3)$, проходящая через точку $B (2; -29)$. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид уравнения квадратичной функции, график которой представляет собой параболу с вершиной в точке с координатами $(h; k)$, задается следующей формулой (так называемая вершинная форма):

$y = a(x - h)^2 + k$

В условии задачи дано, что вершина параболы находится в точке $A(0; 3)$. Это означает, что $h = 0$ и $k = 3$. Подставим эти значения в общую формулу:

$y = a(x - 0)^2 + 3$

Упростив это выражение, получаем:

$y = ax^2 + 3$

Теперь нам нужно найти значение коэффициента $a$. Для этого мы используем второе условие: парабола проходит через точку $B(2; -29)$. Это значит, что если мы подставим координаты этой точки ($x = 2$ и $y = -29$) в наше уравнение, оно должно стать верным равенством.

Подставляем значения:

$-29 = a \cdot (2)^2 + 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$-29 = 4a + 3$

Перенесем 3 в левую часть уравнения:

$-29 - 3 = 4a$

$-32 = 4a$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $a$:

$a = \frac{-32}{4}$

$a = -8$

Теперь, когда мы нашли значение коэффициента $a$, мы можем записать окончательную формулу для этой квадратичной функции, подставив $a = -8$ в уравнение $y = ax^2 + 3$:

$y = -8x^2 + 3$

Ответ: $y = -8x^2 + 3$

293. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $(3; 4)$?

Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ воспользуемся вершинной формой уравнения параболы: $y = a(x - x_в)^2 + y_в$, где $(x_в; y_в)$ — координаты вершины, а $a$ — старший коэффициент.

В исходном уравнении $y = x^2 + px + q$ старший коэффициент при $x^2$ равен 1, следовательно, $a=1$. По условию, вершина параболы находится в точке $(3; 4)$, поэтому $x_в = 3$ и $y_в = 4$.

Подставим известные значения $a$, $x_в$ и $y_в$ в вершинную форму:
$y = 1 \cdot (x - 3)^2 + 4$
$y = (x - 3)^2 + 4$

Теперь раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, чтобы определить значения $p$ и $q$:
$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 4$
$y = x^2 - 6x + 9 + 4$
$y = x^2 - 6x + 13$

Сравнивая полученное уравнение $y = x^2 - 6x + 13$ с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$, мы можем однозначно определить коэффициенты, приравняв их при одинаковых степенях $x$:
$p = -6$
$q = 13$

Также можно было использовать формулу для нахождения абсциссы вершины параболы $x_в = -\frac{p}{2a}$. Подставив $a=1$ и $x_в=3$, получим:
$3 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$, откуда $p = -6$.
Затем, зная, что точка $(3; 4)$ принадлежит параболе, подставляем её координаты и найденное значение $p$ в исходное уравнение:
$4 = 3^2 + (-6) \cdot 3 + q$
$4 = 9 - 18 + q$
$4 = -9 + q$
$q = 13$.
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $p = -6$, $q = 13$.

294. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $M(1; -1)$ и проходит через точку $K(-2; 3)$. Найдите значения коэффициентов $a, b$ и $c$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением параболы, записанным через координаты ее вершины $(x_v; y_v)$: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $M(1; -1)$. Подставим координаты вершины в формулу: $x_v = 1$
$y_v = -1$
$y = a(x - 1)^2 - 1$

Теперь у нас есть уравнение параболы с одним неизвестным коэффициентом $a$. Чтобы найти его, используем второе условие: парабола проходит через точку $K(-2; 3)$. Подставим координаты точки $K$ в наше уравнение, то есть заменим $x$ на $-2$ и $y$ на $3$: $3 = a(-2 - 1)^2 - 1$

Решим полученное уравнение относительно $a$: $3 = a(-3)^2 - 1$
$3 = 9a - 1$
$4 = 9a$
$a = \frac{4}{9}$

Мы нашли коэффициент $a$. Теперь, чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, нужно привести уравнение $y = \frac{4}{9}(x - 1)^2 - 1$ к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$. Для этого раскроем скобки и упростим выражение: $y = \frac{4}{9}(x^2 - 2x + 1) - 1$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{9} \cdot 2x + \frac{4}{9} \cdot 1 - 1$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{4}{9} - 1$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{4}{9} - \frac{9}{9}$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{8}{9}x - \frac{5}{9}$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находим искомые коэффициенты.

Ответ: $a = \frac{4}{9}$, $b = -\frac{8}{9}$, $c = -\frac{5}{9}$.