Номер 293, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 293, страница 240.

Учебник.

293. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $(3; 4)$?

Решение 2.

Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ воспользуемся вершинной формой уравнения параболы: $y = a(x - x_в)^2 + y_в$, где $(x_в; y_в)$ — координаты вершины, а $a$ — старший коэффициент.

В исходном уравнении $y = x^2 + px + q$ старший коэффициент при $x^2$ равен 1, следовательно, $a=1$. По условию, вершина параболы находится в точке $(3; 4)$, поэтому $x_в = 3$ и $y_в = 4$.

Подставим известные значения $a$, $x_в$ и $y_в$ в вершинную форму:
$y = 1 \cdot (x - 3)^2 + 4$
$y = (x - 3)^2 + 4$

Теперь раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, чтобы определить значения $p$ и $q$:
$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 4$
$y = x^2 - 6x + 9 + 4$
$y = x^2 - 6x + 13$

Сравнивая полученное уравнение $y = x^2 - 6x + 13$ с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$, мы можем однозначно определить коэффициенты, приравняв их при одинаковых степенях $x$:
$p = -6$
$q = 13$

Также можно было использовать формулу для нахождения абсциссы вершины параболы $x_в = -\frac{p}{2a}$. Подставив $a=1$ и $x_в=3$, получим:
$3 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$, откуда $p = -6$.
Затем, зная, что точка $(3; 4)$ принадлежит параболе, подставляем её координаты и найденное значение $p$ в исходное уравнение:
$4 = 3^2 + (-6) \cdot 3 + q$
$4 = 9 - 18 + q$
$4 = -9 + q$
$q = 13$.
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $p = -6$, $q = 13$.