Номер 298, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 298, страница 241.
№298 (с. 241)
Учебник. №298 (с. 241)
скриншот условия

298. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3}$ на промежутке:
1) $[ \frac{1}{3}; 1 ]$;
2) $[-2; -1]$.
Решение 2. №298 (с. 241)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^3}$.
Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
$y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Так как $x^4$ всегда больше нуля при любом $x \neq 0$, значение производной $y'$ всегда отрицательно на всей области определения функции $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Это означает, что функция $y = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из этих интервалов.
Если функция непрерывна и монотонно убывает на замкнутом промежутке $[a, b]$, то свое наибольшее значение она принимает в левой крайней точке $x = a$, а наименьшее — в правой крайней точке $x = b$.
1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[\frac{1}{3}; 1]$.
Этот промежуток входит в область $(0; \infty)$, где функция убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{1}{3}$, а наименьшее — в точке $x = 1$.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-3} = \frac{1}{1^3} = 1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 27, наименьшее значение равно 1.
2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-2; -1]$.
Этот промежуток входит в область $(-\infty; 0)$, где функция также убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в точке $x = -2$, а наименьшее — в точке $x = -1$.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно -1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 298 расположенного на странице 241 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №298 (с. 241), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.