Номер 298, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 298, страница 241.

Учебник.

298. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3}$ на промежутке:

1) $[ \frac{1}{3}; 1 ]$;

2) $[-2; -1]$.

Решение 2.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^3}$.

Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Так как $x^4$ всегда больше нуля при любом $x \neq 0$, значение производной $y'$ всегда отрицательно на всей области определения функции $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Это означает, что функция $y = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из этих интервалов.

Если функция непрерывна и монотонно убывает на замкнутом промежутке $[a, b]$, то свое наибольшее значение она принимает в левой крайней точке $x = a$, а наименьшее — в правой крайней точке $x = b$.

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[\frac{1}{3}; 1]$.

Этот промежуток входит в область $(0; \infty)$, где функция убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{1}{3}$, а наименьшее — в точке $x = 1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-3} = \frac{1}{1^3} = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 27, наименьшее значение равно 1.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-2; -1]$.

Этот промежуток входит в область $(-\infty; 0)$, где функция также убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в точке $x = -2$, а наименьшее — в точке $x = -1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно -1.