Номер 304, страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 304, страница 242.

Учебник.

304. Является ли обратимой функция:

1) $y = \sqrt[3]{x}$;

2) $y = x^4$, $x \in [1; +\infty);

3) $y = x^4$, $x \in [-2; 0];

4) $y = x^4$, $x \in [-2; +\infty)?

Решение 2.

1) Для того чтобы функция была обратимой, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность: $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
При любом $x \neq 0$, выражение $x^2$ положительно, значит, и $\sqrt[3]{x^2}$ тоже положительно. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$. В точке $x=0$ функция непрерывна. Так как производная положительна везде, кроме одной точки, функция является строго возрастающей на всей области определения.
Поскольку функция строго монотонна, она обратима.
Ответ: Да, является.

2) Рассмотрим функцию $y = x^4$ на промежутке $x \in [1; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = (x^4)' = 4x^3$.
На заданном промежутке $x \ge 1$, поэтому $x^3 \ge 1$. Отсюда следует, что производная $y' = 4x^3 \ge 4 > 0$.
Так как производная функции строго положительна на всем промежутке $[1; +\infty)$, функция является строго возрастающей на этом промежутке.
Следовательно, функция обратима.
Ответ: Да, является.

3) Рассмотрим функцию $y = x^4$ на промежутке $x \in [-2; 0]$.
Производная функции: $y' = 4x^3$.
На заданном промежутке $x \in [-2; 0]$, значения $x$ неположительны. Если $x < 0$, то $x^3 < 0$, и производная $y' = 4x^3 < 0$. Если $x=0$, то $y'=0$.
Поскольку производная функции неположительна ($y' \le 0$) на всем промежутке и обращается в ноль лишь в одной точке (на конце интервала), функция является строго убывающей на этом промежутке.
Следовательно, функция обратима.
Ответ: Да, является.

4) Рассмотрим функцию $y = x^4$ на промежутке $x \in [-2; +\infty)$.
Для обратимости функция должна быть строго монотонной. Исследуем ее поведение на заданном промежутке с помощью производной $y' = 4x^3$.
На интервале $(-2; 0)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
На интервале $(0; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
Поскольку на заданном промежутке $[-2; +\infty)$ функция сначала убывает, а затем возрастает, она не является монотонной.
Например, можно найти два разных значения аргумента, которым соответствует одно и то же значение функции. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Оба значения принадлежат промежутку $[-2; +\infty)$.
$y_1 = (-1)^4 = 1$
$y_2 = (1)^4 = 1$
Так как $x_1 \neq x_2$, но $y_1 = y_2$, функция не является взаимно-однозначной, а значит, и не обратима.
Ответ: Нет, не является.