Номер 308, страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 308, страница 242.

Учебник.

308. Найдите первый член арифметической прогрессии $(y_n)$, если:

1) $y_{10} = -19$, $d = -2$;

2) $y_5 = 13$, $y_{16} = 46$.

Решение 2.

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $y_1$ используется формула n-го члена: $y_n = y_1 + d(n-1)$, где $y_n$ — n-й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.
По условию задачи дано: $y_{10} = -19$ и $d = -2$.
Подставим эти значения в формулу для n=10:
$y_{10} = y_1 + d(10-1)$
$-19 = y_1 + (-2) \cdot 9$
$-19 = y_1 - 18$
Теперь найдем $y_1$, выразив его из уравнения:
$y_1 = -19 + 18$
$y_1 = -1$
Ответ: -1

2) В этом пункте даны два члена прогрессии: $y_5 = 13$ и $y_{16} = 46$. Чтобы найти первый член $y_1$, сначала необходимо найти разность прогрессии $d$.
Запишем формулу n-го члена для каждого из данных членов:
Для $n=5$: $y_5 = y_1 + d(5-1) \Rightarrow 13 = y_1 + 4d$
Для $n=16$: $y_{16} = y_1 + d(16-1) \Rightarrow 46 = y_1 + 15d$
Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y_1$ и $d$:
$\begin{cases} y_1 + 4d = 13 \\ y_1 + 15d = 46 \end{cases}$
Для решения системы вычтем из второго уравнения первое:
$(y_1 + 15d) - (y_1 + 4d) = 46 - 13$
$11d = 33$
Отсюда находим разность $d$:
$d = \frac{33}{11} = 3$
Теперь, зная $d$, подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы найти $y_1$:
$y_1 + 4(3) = 13$
$y_1 + 12 = 13$
$y_1 = 13 - 12$
$y_1 = 1$
Ответ: 1