Номер 313, страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 313, страница 242.

Учебник.

313. При каком значении m значения выражений $3m - 1$, $m^2 + 1$ и $m + 3$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение 2.

По условию, выражения $3m - 1$, $m^2 + 1$ и $m + 3$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно.

Для любой арифметической прогрессии справедливо характеристическое свойство: каждый член прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим данные выражения в это свойство, чтобы найти значение $m$: $m^2 + 1 = \frac{(3m - 1) + (m + 3)}{2}$

Теперь решим полученное уравнение:
$2(m^2 + 1) = (3m - 1) + (m + 3)$
$2m^2 + 2 = 4m + 2$
$2m^2 - 4m = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$2m(m - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $m_1 = 0$ и $m_2 = 2$. Следовательно, существуют два значения $m$, при которых заданные выражения образуют арифметическую прогрессию. Найдем члены прогрессии для каждого из этих значений.

При $m = 0$:
Подставим $m = 0$ в исходные выражения:
$a_1 = 3(0) - 1 = -1$
$a_2 = 0^2 + 1 = 1$
$a_3 = 0 + 3 = 3$
Получаем последовательность: -1, 1, 3. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 2$.
Ответ: при $m = 0$ члены прогрессии равны -1, 1, 3.

При $m = 2$:
Подставим $m = 2$ в исходные выражения:
$a_1 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$
$a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
$a_3 = 2 + 3 = 5$
Получаем последовательность: 5, 5, 5. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $m = 2$ члены прогрессии равны 5, 5, 5.