Номер 318, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 318, страница 243.

Учебник.

318. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 11, которые не больше 341.

Решение 2.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 11 и при этом не превышают 341. Такие числа образуют конечную арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 11, то есть $a_1 = 11$.

Каждый следующий член прогрессии на 11 больше предыдущего, следовательно, разность прогрессии $d = 11$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее число, кратное 11, которое не больше 341. Чтобы определить его, разделим 341 на 11:

$341 \div 11 = 31$

Поскольку 341 делится на 11 нацело, оно и является последним членом нашей прогрессии: $a_n = 341$.

Теперь определим количество членов ($n$) в этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу:

$341 = 11 + (n-1) \cdot 11$

Вычтем 11 из обеих частей уравнения:

$330 = (n-1) \cdot 11$

Разделим обе части на 11:

$30 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 31$

Таким образом, в последовательности 31 число.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $a_1=11$, $a_n=341$ и $n=31$:

$S_{31} = \frac{11 + 341}{2} \cdot 31$

$S_{31} = \frac{352}{2} \cdot 31$

$S_{31} = 176 \cdot 31$

$S_{31} = 5456$

Ответ: 5456