Номер 319, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Прогрессии. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 319, страница 243.

319. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые не больше 156.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые не больше 156. Эти числа составляют конечную арифметическую прогрессию.

1. Определим параметры арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 9. Таким образом, $a_1 = 9$.

Разность прогрессии ($d$), очевидно, равна 9, так как мы рассматриваем числа, кратные 9.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$).

Последний член прогрессии должен быть не больше 156. Чтобы найти его, разделим 156 на 9: $156 \div 9 = 17$ и остаток 3.

Это означает, что наибольшее число, которое не превышает 156 и делится на 9, равно $9 \times 17 = 153$. Итак, $a_n = 153$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$).

Количество членов прогрессии соответствует множителю 17, который мы нашли на предыдущем шаге. То есть, в последовательности $9 \times 1, 9 \times 2, \dots, 9 \times 17$ всего 17 членов. Значит, $n = 17$.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$).

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в формулу найденные значения: $a_1 = 9$, $a_n = 153$, $n = 17$. $S_{17} = \frac{9 + 153}{2} \cdot 17$

$S_{17} = \frac{162}{2} \cdot 17$

$S_{17} = 81 \cdot 17$

$S_{17} = 1377$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9, которые не больше 156, равна 1377.

Ответ: 1377