Номер 324, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 324, страница 243.

Учебник.

324. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($(b_n)$), если:

1) $b_1 = 108, b_4 = 32;$

2) $b_2 = 6, b_4 = 30.$

Решение 2.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Эта формула связывает два любых члена прогрессии $b_n$ и $b_k$.

1) Дано: $b_1 = 108$, $b_4 = 32$.
Используем формулу n-го члена для $n=4$ и $k=1$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
Подставим известные значения в это уравнение:
$32 = 108 \cdot q^3$
Теперь выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{32}{108}$
Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 4:
$q^3 = \frac{32 \div 4}{108 \div 4} = \frac{8}{27}$
Чтобы найти $q$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $q = \frac{2}{3}$.

2) Дано: $b_2 = 6$, $b_4 = 30$.
Используем формулу n-го члена для $n=4$ и $k=2$:
$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2}$
$b_4 = b_2 \cdot q^2$
Подставим известные значения в это уравнение:
$30 = 6 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{30}{6}$
$q^2 = 5$
Чтобы найти $q$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. В этом случае возможны два решения: положительное и отрицательное.
$q = \pm\sqrt{5}$
Ответ: $q = \sqrt{5}$ или $q = -\sqrt{5}$.