Номер 317, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Прогрессии. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 317, страница 243.

317. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 3n^2 - 4n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Нам дана формула для вычисления суммы $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии: $S_n = 3n^2 - 4n$. Наша задача — найти первый член $a_1$ и разность $d$ этой прогрессии. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Последовательное нахождение членов прогрессии

1. Нахождение первого члена ($a_1$)

Сумма первого члена прогрессии, $S_1$, по определению равна самому первому члену, $a_1$. Чтобы найти $a_1$, подставим в данную формулу значение $n = 1$:

$a_1 = S_1 = 3(1)^2 - 4(1) = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1$.

Итак, первый член прогрессии равен -1.

2. Нахождение разности ($d$)

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разнице между любым членом прогрессии и предыдущим, например, $d = a_2 - a_1$. Мы уже нашли $a_1$, теперь найдем $a_2$.

Второй член $a_2$ можно найти из соотношения $a_2 = S_2 - S_1$. Мы уже знаем, что $S_1 = a_1 = -1$. Вычислим $S_2$, подставив $n = 2$ в исходную формулу:

$S_2 = 3(2)^2 - 4(2) = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.

Теперь найдем $a_2$:

$a_2 = S_2 - S_1 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Зная первый и второй члены прогрессии, вычислим её разность:

$d = a_2 - a_1 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$.

Способ 2: Сравнение с общей формулой суммы

Общая формула для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$

Раскроем скобки и приведём её к виду многочлена относительно $n$:

$S_n = \frac{2a_1n + dn^2 - dn}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \frac{2a_1 - d}{2}n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$

Теперь сравним коэффициенты в этой общей формуле с коэффициентами в формуле, данной в условии задачи: $S_n = 3n^2 - 4n$.

Приравнивая коэффициенты при $n^2$, получаем:

$\frac{d}{2} = 3 \Rightarrow d = 6$.

Приравнивая коэффициенты при $n$, получаем:

$a_1 - \frac{d}{2} = -4$.

Подставим в это уравнение найденное значение $\frac{d}{2}=3$:

$a_1 - 3 = -4 \Rightarrow a_1 = -4 + 3 = -1$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: первый член прогрессии равен -1, разность прогрессии равна 6.