Номер 321, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Прогрессии. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 321, страница 243.

321. Найдите сумму первых тридцати пяти членов арифметической прогрессии, если её восемнадцатый член равен 8.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии. Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Нам необходимо найти сумму первых тридцати пяти членов, то есть $S_{35}$. Подставим $n=35$ в формулу: $S_{35} = \frac{2a_1 + (35-1)d}{2} \cdot 35 = \frac{2a_1 + 34d}{2} \cdot 35$.

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь: $S_{35} = \frac{2(a_1 + 17d)}{2} \cdot 35 = (a_1 + 17d) \cdot 35$.

Теперь воспользуемся условием, что восемнадцатый член прогрессии равен 8. Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для восемнадцатого члена ($n=18$) получаем: $a_{18} = a_1 + (18-1)d = a_1 + 17d$.

Поскольку по условию задачи $a_{18} = 8$, мы можем заключить, что: $a_1 + 17d = 8$.

Теперь подставим это значение в полученное ранее выражение для суммы $S_{35}$: $S_{35} = (a_1 + 17d) \cdot 35 = 8 \cdot 35$.

Вычисляем окончательный результат: $S_{35} = 280$.

Ответ: 280