Номер 321, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 321, страница 243.

Учебник.

321. Найдите сумму первых тридцати пяти членов арифметической прогрессии, если её восемнадцатый член равен 8.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии. Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Нам необходимо найти сумму первых тридцати пяти членов, то есть $S_{35}$. Подставим $n=35$ в формулу: $S_{35} = \frac{2a_1 + (35-1)d}{2} \cdot 35 = \frac{2a_1 + 34d}{2} \cdot 35$.

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь: $S_{35} = \frac{2(a_1 + 17d)}{2} \cdot 35 = (a_1 + 17d) \cdot 35$.

Теперь воспользуемся условием, что восемнадцатый член прогрессии равен 8. Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для восемнадцатого члена ($n=18$) получаем: $a_{18} = a_1 + (18-1)d = a_1 + 17d$.

Поскольку по условию задачи $a_{18} = 8$, мы можем заключить, что: $a_1 + 17d = 8$.

Теперь подставим это значение в полученное ранее выражение для суммы $S_{35}$: $S_{35} = (a_1 + 17d) \cdot 35 = 8 \cdot 35$.

Вычисляем окончательный результат: $S_{35} = 280$.

Ответ: 280