Номер 326, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 326, страница 243.

Учебник.

326. Число 192 является членом геометрической прогрессии $ \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3, ... $

Найдите номер этого члена.

Решение 2.

Пусть дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой известны первые члены: $b_1 = \frac{3}{4}$, $b_2 = \frac{3}{2}$, $b_3 = 3$, и так далее. Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии, который равен 192, то есть $b_n = 192$.

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии.
Знаменатель прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/2}{3/4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2$. Проверим для следующей пары: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$. Итак, знаменатель прогрессии $q = 2$.

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Формула для нахождения любого члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

3. Подставим известные значения и решим уравнение.
Подставим в формулу известные нам значения: $b_n = 192$, $b_1 = \frac{3}{4}$ и $q = 2$. $192 = \frac{3}{4} \cdot 2^{n-1}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала выразим $2^{n-1}$: $2^{n-1} = 192 : \frac{3}{4}$
$2^{n-1} = 192 \cdot \frac{4}{3}$
Чтобы упростить вычисление, сначала разделим 192 на 3: $192 / 3 = 64$. $2^{n-1} = 64 \cdot 4$
$2^{n-1} = 256$

Чтобы найти $n-1$, представим 256 как степень с основанием 2. $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$. Таким образом, $256 = 2^8$.

Теперь наше уравнение выглядит так: $2^{n-1} = 2^8$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $n - 1 = 8$
$n = 8 + 1$
$n = 9$

Следовательно, число 192 является девятым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 9