Номер 332, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Прогрессии. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 332, страница 244.
№332 (с. 244)
Учебник. №332 (с. 244)
скриншот условия

332. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_2 = 108$, $b_4 = 48$.
Решение 2. №332 (с. 244)
Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только при условии $|q| < 1$.
По условию задачи нам известны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 108$ и $b_4 = 48$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Используя эту формулу, запишем выражения для $b_2$ и $b_4$:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 108$
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 48$
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $q$. Чтобы найти $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{48}{108}$
После сокращения $b_1$ и $q$ в левой части, получаем:
$q^2 = \frac{48}{108}$
Сократим дробь $\frac{48}{108}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:
$q^2 = \frac{48 \div 12}{108 \div 12} = \frac{4}{9}$
Из этого уравнения находим два возможных значения для $q$:
$q_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ и $q_2 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$
Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, следовательно, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $q = \frac{2}{3}$
Найдем первый член $b_1$, используя уравнение $b_1 \cdot q = 108$:
$b_1 \cdot \frac{2}{3} = 108$
$b_1 = 108 \cdot \frac{3}{2} = 54 \cdot 3 = 162$
Теперь вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{1}{3}} = 162 \cdot 3 = 486$
Случай 2: $q = -\frac{2}{3}$
Найдем первый член $b_1$ для этого значения $q$:
$b_1 \cdot (-\frac{2}{3}) = 108$
$b_1 = 108 \cdot (-\frac{3}{2}) = 54 \cdot (-3) = -162$
Вычислим соответствующую сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-162}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{-162}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-162}{\frac{5}{3}} = -162 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{486}{5} = -97.2$
Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: 486 или -97,2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 332 расположенного на странице 244 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №332 (с. 244), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.