Номер 332, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 332, страница 244.

Учебник.

332. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_2 = 108$, $b_4 = 48$.

Решение 2.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только при условии $|q| < 1$.

По условию задачи нам известны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 108$ и $b_4 = 48$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу, запишем выражения для $b_2$ и $b_4$:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 108$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 48$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $q$. Чтобы найти $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{48}{108}$

После сокращения $b_1$ и $q$ в левой части, получаем:

$q^2 = \frac{48}{108}$

Сократим дробь $\frac{48}{108}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:

$q^2 = \frac{48 \div 12}{108 \div 12} = \frac{4}{9}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $q$:

$q_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ и $q_2 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$

Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, следовательно, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{2}{3}$

Найдем первый член $b_1$, используя уравнение $b_1 \cdot q = 108$:

$b_1 \cdot \frac{2}{3} = 108$

$b_1 = 108 \cdot \frac{3}{2} = 54 \cdot 3 = 162$

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{1}{3}} = 162 \cdot 3 = 486$

Случай 2: $q = -\frac{2}{3}$

Найдем первый член $b_1$ для этого значения $q$:

$b_1 \cdot (-\frac{2}{3}) = 108$

$b_1 = 108 \cdot (-\frac{3}{2}) = 54 \cdot (-3) = -162$

Вычислим соответствующую сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-162}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{-162}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-162}{\frac{5}{3}} = -162 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{486}{5} = -97.2$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 486 или -97,2.