Номер 334, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 334, страница 244.

334. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $cos x = a - 2;$

2) $sin x = 2a - a^2 - 2?$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синус и косинус. Область значений этих функций — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливы неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

$-1 \le \sin x \le 1$

Равенство будет возможно только в том случае, если правая часть уравнения принадлежит этому отрезку.

1) $\cos x = a - 2$

Исходя из области значений функции косинус, равенство возможно тогда и только тогда, когда выражение $a - 2$ принимает значения от -1 до 1 включительно. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-1 \le a - 2 \le 1$

Чтобы найти значения $a$, прибавим 2 ко всем трем частям этого неравенства:

$-1 + 2 \le a - 2 + 2 \le 1 + 2$

Выполнив сложение, получаем:

$1 \le a \le 3$

Следовательно, данное равенство возможно при всех значениях $a$, принадлежащих отрезку $[1, 3]$.

Ответ: $a \in [1, 3]$.

2) $\sin x = 2a - a^2 - 2$

Аналогично первому пункту, данное равенство возможно, если правая часть принадлежит отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$

Рассмотрим выражение в середине неравенства: $f(a) = 2a - a^2 - 2$. Преобразуем его, выделив полный квадрат:

$2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 2) = -(a^2 - 2a + 1 + 1) = -((a - 1)^2 + 1) = -(a-1)^2 - 1$

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a-1)^2 \ge 0$.

Тогда $-(a-1)^2 \le 0$.

Следовательно, $-(a-1)^2 - 1 \le -1$.

Это означает, что выражение $2a - a^2 - 2$ принимает значения, не превосходящие -1. Максимальное значение, равное -1, достигается тогда, когда $(a-1)^2 = 0$, то есть при $a=1$.

Вернемся к нашему двойному неравенству:

$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$

Мы выяснили, что $2a - a^2 - 2 \le -1$. Таким образом, чтобы неравенство выполнялось, выражение $2a - a^2 - 2$ должно быть одновременно и меньше или равно -1, и больше или равно -1. Единственная возможность для этого — это равенство:

$2a - a^2 - 2 = -1$

Как мы уже установили, это равенство достигается только при одном значении $a$.

$a=1$

При $a=1$ исходное уравнение принимает вид $\sin x = -1$, что является возможным.

Ответ: $a = 1$.