Номер 336, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 336, страница 244.

Учебник.

336. Сравните:

1) $tg 140^\circ$ и $tg (-140^\circ);$

2) $cos 50^\circ$ и $sin 350^\circ;$

3) $ctg \frac{6\pi}{5}$ и $cos \frac{5\pi}{7};$

4) $cos 5$ и $sin 4.$

Решение 2.

1) tg 140° и tg(-140°)

Для сравнения значений тригонометрических функций определим, в каких координатных четвертях находятся углы и какие знаки имеют функции в этих четвертях.

Угол $140^\circ$ находится во второй четверти (так как $90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$). Тангенс во второй четверти отрицателен, следовательно, $\text{tg } 140^\circ < 0$.

Рассмотрим $\text{tg}(-140^\circ)$. Функция тангенса является нечетной, то есть $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Следовательно, $\text{tg}(-140^\circ) = -\text{tg}(140^\circ)$. Поскольку мы уже определили, что $\text{tg } 140^\circ$ — отрицательное число, то $-\text{tg}(140^\circ)$ будет положительным числом.

Другой способ: угол $-140^\circ$ находится в третьей четверти (так как $-180^\circ < -140^\circ < -90^\circ$). Тангенс в третьей четверти положителен, значит, $\text{tg}(-140^\circ) > 0$.

Сравнивая отрицательное число ($\text{tg } 140^\circ$) и положительное число ($\text{tg}(-140^\circ)$), получаем, что отрицательное число всегда меньше положительного.

Таким образом, $\text{tg } 140^\circ < \text{tg}(-140^\circ)$.

Ответ: $\text{tg } 140^\circ < \text{tg}(-140^\circ)$.

2) cos 50° и sin 350°

Определим знаки данных тригонометрических функций.

Угол $50^\circ$ находится в первой четверти (так как $0^\circ < 50^\circ < 90^\circ$). Косинус в первой четверти положителен, следовательно, $\cos 50^\circ > 0$.

Угол $350^\circ$ находится в четвертой четверти (так как $270^\circ < 350^\circ < 360^\circ$). Синус в четвертой четверти отрицателен, следовательно, $\sin 350^\circ < 0$.

Сравнивая положительное число ($\cos 50^\circ$) и отрицательное число ($\sin 350^\circ$), приходим к выводу, что положительное число всегда больше отрицательного.

Таким образом, $\cos 50^\circ > \sin 350^\circ$.

Ответ: $\cos 50^\circ > \sin 350^\circ$.

3) ctg $\frac{6\pi}{5}$ и cos $\frac{5\pi}{7}$

Определим, в каких координатных четвертях находятся углы, заданные в радианах.

Рассмотрим угол $\frac{6\pi}{5}$. Мы можем представить его как $\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}$. Так как $\pi < \pi + \frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$, этот угол находится в третьей четверти. Котангенс в третьей четверти положителен, значит, $\text{ctg} \frac{6\pi}{5} > 0$.

Рассмотрим угол $\frac{5\pi}{7}$. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Так как $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, этот угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, значит, $\cos \frac{5\pi}{7} < 0$.

Сравниваем положительное число ($\text{ctg} \frac{6\pi}{5}$) и отрицательное число ($\cos \frac{5\pi}{7}$).

Таким образом, $\text{ctg} \frac{6\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{7}$.

Ответ: $\text{ctg} \frac{6\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{7}$.

4) cos 5 и sin 4

В данном случае углы 5 и 4 заданы в радианах. Для определения их положения на тригонометрической окружности используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$
$\pi \approx 3.14$
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71$
$2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$

Определим положение угла 5 радиан. Так как $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол 5 радиан находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен, следовательно, $\cos 5 > 0$.

Определим положение угла 4 радиана. Так как $3.14 < 4 < 4.71$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол 4 радиана находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен, следовательно, $\sin 4 < 0$.

Сравниваем положительное число ($\cos 5$) и отрицательное число ($\sin 4$).

Таким образом, $\cos 5 > \sin 4$.

Ответ: $\cos 5 > \sin 4$.