Номер 337, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 337, страница 244.

337. Является ли чётной либо нечётной функция, заданная формулой:

1) $f(x) = 2x + \sin x$;

2) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$;

3) $f(x) = \frac{x^4 \cos x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}$;

4) $f(x) = \frac{\cos x}{x^3 - 1}$;

5) $f(x) = \operatorname{tg} x + x^2$;

6) $f(x) = \frac{(2 - x)\cos x}{2 - x}$?

Для определения чётности или нечётности функции $f(x)$ необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств для всех $x \in D(f)$:
- $f(-x) = f(x)$ — функция чётная.
- $f(-x) = -f(x)$ — функция нечётная.
Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = 2x + \sin x$

1. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), она симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x) + \sin(-x)$
Используя свойства функции синус $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:
$f(-x) = -2x - \sin x = -(2x + \sin x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. Также котангенс не определён в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pm 1, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 - 1}$
Используя свойства функций $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$f(-x) = \frac{-\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1} = - \frac{\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{x^4 \cos x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}$

1. Найдём область определения. Тангенс не определён при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, котангенс не определён при $x = \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$). Знаменатель $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$ не должен быть равен нулю.
Упростим знаменатель: $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
Знаменатель не определён, если $\sin(2x)=0$, то есть $2x=\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$ является симметричной относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^4 \cos(-x)}{\operatorname{tg}(-x) + \operatorname{ctg}(-x)}$
Используя свойства функций: $(-x)^4 = x^4$ (чётная степень), $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция), $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ (нечётная функция), $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ (нечётная функция).
$f(-x) = \frac{x^4 \cos x}{-\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x} = \frac{x^4 \cos x}{-(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x)} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

4) $f(x) = \frac{\cos x}{x^3 - 1}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 1 \neq 0$, то есть $x^3 \neq 1$, что означает $x \neq 1$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1\}$.
Эта область не является симметричной относительно нуля, так как точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ — не принадлежит.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

5) $f(x) = \operatorname{tg} x + x^2$

1. Найдём область определения. Функция $\operatorname{tg} x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x)^2 = -\operatorname{tg} x + x^2$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x + x^2 \neq f(x) = \operatorname{tg} x + x^2$ (равенство выполняется только при $\operatorname{tg} x = 0$, а не для всех $x$ из области определения).
$f(-x) = -\operatorname{tg} x + x^2 \neq -f(x) = -(\operatorname{tg} x + x^2) = -\operatorname{tg} x - x^2$ (равенство выполняется только при $x = 0$, а не для всех $x$ из области определения).
Функция представляет собой сумму нечётной функции ($\operatorname{tg} x$) и чётной функции ($x^2$), что делает её функцией общего вида.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

6) $f(x) = \frac{(2 - x) \cos x}{2 - x}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$.
Эта область не является симметричной относительно нуля, так как точка $x = -2$ принадлежит области определения, а точка $x = 2$ — не принадлежит.
Хотя при $x \neq 2$ функцию можно упростить до $f(x) = \cos x$, её область определения остаётся несимметричной.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.