Номер 344, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 344, страница 245.

Учебник.

344. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin (45^\circ + \alpha) + \cos (45^\circ + \alpha)}{\sin (45^\circ + \alpha) - \cos (45^\circ + \alpha)} = \text{ctg } \alpha;$

2) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha - \beta) + 2\sin \beta \cos \alpha} = \text{ctg } (\alpha + \beta);$

3) $\sin 12\alpha \text{ ctg } 6\alpha - \cos 12\alpha = 1;$

4) $1 - (\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta) \text{ ctg } (\alpha + \beta) = \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta.$

Решение 2.

1) Докажем тождество $ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)} = \text{ctg}\,\alpha $.

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу приведения $ \cos x = \sin(90^\circ - x) $.

Применим ее к $ \cos(45^\circ + \alpha) $: $ \cos(45^\circ + \alpha) = \sin(90^\circ - (45^\circ + \alpha)) = \sin(90^\circ - 45^\circ - \alpha) = \sin(45^\circ - \alpha) $.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \sin(45^\circ - \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha)} $

Теперь воспользуемся формулами преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $

$ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $

В нашем случае $ A = 45^\circ + \alpha $ и $ B = 45^\circ - \alpha $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(45^\circ + \alpha) + (45^\circ - \alpha)}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(45^\circ + \alpha) - (45^\circ - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Подставим эти значения в нашу дробь:

$ \frac{2 \sin(45^\circ) \cos(\alpha)}{2 \cos(45^\circ) \sin(\alpha)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Так как $ \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \text{tg}(45^\circ) = 1 $ и $ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \text{ctg}(\alpha) $, получаем:

$ 1 \cdot \text{ctg}(\alpha) = \text{ctg}(\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)} = \text{ctg}\,\alpha $.

2) Докажем тождество $ \frac{\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha} = \text{ctg}(\alpha + \beta) $.

Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулы косинуса разности и синуса разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Преобразуем числитель:

$ \cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + 2\cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

Полученное выражение является формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \text{ctg}(\alpha + \beta) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha} = \text{ctg}(\alpha + \beta) $.

3) Докажем тождество $ \sin 12\alpha \cdot \text{ctg}\,6\alpha - \cos 12\alpha = 1 $.

Преобразуем левую часть. Запишем котангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}\,6\alpha = \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} $.

$ \sin 12\alpha \cdot \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} - \cos 12\alpha $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $. Для $ \sin 12\alpha $ это будет $ \sin(2 \cdot 6\alpha) = 2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha $.

$ (2 \sin 6\alpha \cos 6\alpha) \cdot \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} - \cos 12\alpha $

Сократим $ \sin 6\alpha $ (при условии, что $ \sin 6\alpha \neq 0 $):

$ 2 \cos 6\alpha \cdot \cos 6\alpha - \cos 12\alpha = 2\cos^2 6\alpha - \cos 12\alpha $

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $. Для $ \cos 12\alpha $ это будет $ \cos(2 \cdot 6\alpha) = 2\cos^2 6\alpha - 1 $.

$ 2\cos^2 6\alpha - (2\cos^2 6\alpha - 1) = 2\cos^2 6\alpha - 2\cos^2 6\alpha + 1 = 1 $

Левая часть равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: $ \sin 12\alpha \cdot \text{ctg}\,6\alpha - \cos 12\alpha = 1 $.

4) Докажем тождество $ 1 - (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta)\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta $.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой котангенса суммы, выраженной через тангенсы:

$ \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta} $

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$ 1 - (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta} $

Сократим множитель $ (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta) $ (при условии, что $ \text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta \neq 0 $):

$ 1 - (1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta) $

Раскроем скобки:

$ 1 - 1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta = \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ 1 - (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta)\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta $.