Номер 348, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 348, страница 245.

348. Дано: $\text{tg} \frac{x}{4} = 0,4$. Найдите $\text{tg} \left(45^{\circ} + \frac{x}{2}\right)$.

Для решения задачи нам нужно найти значение выражения $\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right)$. Мы можем использовать формулу тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = \frac{x}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{\text{tg}45^\circ + \text{tg}\frac{x}{2}}{1 - \text{tg}45^\circ \cdot \text{tg}\frac{x}{2}}$

Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, формула упрощается до:

$\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \text{tg}\frac{x}{2}}{1 - \text{tg}\frac{x}{2}}$

Теперь нам нужно найти значение $\text{tg}\frac{x}{2}$, используя данное нам значение $\text{tg}\frac{x}{4} = 0.4$. Для этого воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$

Пусть $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$. Подставим известное значение $\text{tg}\frac{x}{4} = 0.4$ в формулу:

$\text{tg}\frac{x}{2} = \frac{2\text{tg}\frac{x}{4}}{1 - \text{tg}^2\frac{x}{4}} = \frac{2 \cdot 0.4}{1 - (0.4)^2} = \frac{0.8}{1 - 0.16} = \frac{0.8}{0.84}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{0.8}{0.84} = \frac{80}{84} = \frac{20 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{20}{21}$

Теперь, когда мы нашли $\text{tg}\frac{x}{2} = \frac{20}{21}$, мы можем подставить это значение в нашу первую формулу:

$\text{tg}\left(45^\circ + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \text{tg}\frac{x}{2}}{1 - \text{tg}\frac{x}{2}} = \frac{1 + \frac{20}{21}}{1 - \frac{20}{21}}$

Выполним вычисления:

$\frac{1 + \frac{20}{21}}{1 - \frac{20}{21}} = \frac{\frac{21}{21} + \frac{20}{21}}{\frac{21}{21} - \frac{20}{21}} = \frac{\frac{41}{21}}{\frac{1}{21}} = \frac{41}{21} \cdot \frac{21}{1} = 41$

Ответ: 41