Номер 353, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 353, страница 246.

353. Докажите тождество:

1) $ \sin 2\alpha + 2\sin \left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) \cos \left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right) = -1; $

2) $ \sin 8\alpha \sin 4\alpha + \cos 7\alpha \cos 5\alpha = \cos 3\alpha \cos \alpha. $

1)

Докажем тождество: $sin(2\alpha) + 2\sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{4} + \alpha) = -1$.
Преобразуем левую часть равенства. Для преобразования произведения синуса на косинус воспользуемся формулой $2\sin(A)\cos(B) = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.
В нашем случае $A = \frac{3\pi}{4} - \alpha$ и $B = \frac{3\pi}{4} + \alpha$.
Найдем $A+B$ и $A-B$:
$A+B = (\frac{3\pi}{4} - \alpha) + (\frac{3\pi}{4} + \alpha) = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$.
$A-B = (\frac{3\pi}{4} - \alpha) - (\frac{3\pi}{4} + \alpha) = -2\alpha$.
Подставим эти значения в формулу:
$2\sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(-2\alpha)$.
Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:
$\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(-2\alpha) = -1 - \sin(2\alpha)$.
Теперь подставим это выражение в исходное тождество:
$\sin(2\alpha) + (-1 - \sin(2\alpha)) = \sin(2\alpha) - 1 - \sin(2\alpha) = -1$.
Левая часть равна правой части ($-1 = -1$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество: $\sin(8\alpha)\sin(4\alpha) + \cos(7\alpha)\cos(5\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.
Преобразуем левую часть тождества, используя формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$
$\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$
Применим эти формулы к каждому слагаемому в левой части.
Для первого слагаемого $\sin(8\alpha)\sin(4\alpha)$:
$\sin(8\alpha)\sin(4\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(8\alpha-4\alpha) - \cos(8\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha))$.
Для второго слагаемого $\cos(7\alpha)\cos(5\alpha)$:
$\cos(7\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(7\alpha-5\alpha) + \cos(7\alpha+5\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(12\alpha))$.
Теперь сложим полученные выражения:
$\sin(8\alpha)\sin(4\alpha) + \cos(7\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(12\alpha))$
$= \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(12\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha))$.
Теперь преобразуем полученную сумму косинусов в произведение по формуле $\cos(x)+\cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$:
$\frac{1}{2}(\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos(\frac{4\alpha+2\alpha}{2})\cos(\frac{4\alpha-2\alpha}{2}) = \cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.
Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части ($\cos(3\alpha)\cos(\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(\alpha)$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.