Номер 350, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 350, страница 246.
№350 (с. 246)
Учебник. №350 (с. 246)
скриншот условия

350. Докажите, что $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$.
Решение 2. №350 (с. 246)
Для доказательства тождества $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$ преобразуем его левую часть. Основной формулой, которую мы будем использовать, является формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Обозначим левую часть равенства как $L$:
$L = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$
Умножим и разделим выражение на $2\sin 20^\circ$. Это допустимо, поскольку $\sin 20^\circ \neq 0$.
$L = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$
В числителе мы видим выражение $2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$, которое по формуле синуса двойного угла равно $\sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin 40^\circ$. Подставим это в наше выражение:
$L = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$
Теперь в числителе мы имеем произведение $\sin 40^\circ \cos 40^\circ$. Чтобы снова применить формулу двойного угла, умножим числитель и знаменатель на 2:
$L = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 2\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ}$
Повторим этот шаг еще раз для произведения $\sin 80^\circ \cos 80^\circ$:
$L = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 4\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}$
Для упрощения числителя воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
Применив ее, получаем: $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.
Подставим полученный результат обратно в выражение для $L$:
$L = \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ}$
Сократив $\sin 20^\circ$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:
$L = \frac{1}{8}$
Таким образом, мы доказали, что левая часть исходного равенства равна $\frac{1}{8}$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 350 расположенного на странице 246 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №350 (с. 246), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.