Номер 350, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 350, страница 246.

Учебник.

350. Докажите, что $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$.

Решение 2.

Для доказательства тождества $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$ преобразуем его левую часть. Основной формулой, которую мы будем использовать, является формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Обозначим левую часть равенства как $L$:

$L = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$

Умножим и разделим выражение на $2\sin 20^\circ$. Это допустимо, поскольку $\sin 20^\circ \neq 0$.

$L = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

В числителе мы видим выражение $2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$, которое по формуле синуса двойного угла равно $\sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin 40^\circ$. Подставим это в наше выражение:

$L = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

Теперь в числителе мы имеем произведение $\sin 40^\circ \cos 40^\circ$. Чтобы снова применить формулу двойного угла, умножим числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 2\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ}$

Повторим этот шаг еще раз для произведения $\sin 80^\circ \cos 80^\circ$:

$L = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 4\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Применив ее, получаем: $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Подставим полученный результат обратно в выражение для $L$:

$L = \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ}$

Сократив $\sin 20^\circ$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:

$L = \frac{1}{8}$

Таким образом, мы доказали, что левая часть исходного равенства равна $\frac{1}{8}$, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.