Номер 342, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 342, страница 245.

342. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\cos^2 \alpha + 2\sin^2 \alpha$;

2) $3\sin^2 \alpha - 2\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$.

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Преобразуем выражение одним из двух способов.

Способ 1:

Представим $3\cos^2\alpha$ как $2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha$ и сгруппируем слагаемые:

$3\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha = (2\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha) + \cos^2\alpha = 2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cos^2\alpha$

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, получаем:

$2(1) + \cos^2\alpha = 2 + \cos^2\alpha$

Способ 2:

Выразим $\sin^2\alpha$ через $\cos^2\alpha$ из основного тождества: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$3\cos^2\alpha + 2(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos^2\alpha + 2 - 2\cos^2\alpha = 2 + \cos^2\alpha$

Теперь найдем область значений выражения $2 + \cos^2\alpha$.

Значение $\cos\alpha$ находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Следовательно, значение $\cos^2\alpha$ находится в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\cos^2\alpha = 0$:

Наименьшее значение = $2 + 0 = 2$.

Наибольшее значение выражения достигается при наибольшем значении $\cos^2\alpha = 1$:

Наибольшее значение = $2 + 1 = 3$.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшее значение равно 3.

2)

Рассмотрим выражение $3\sin^2\alpha - 2\tg\alpha \ctg\alpha$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для угла $\alpha$. Выражение содержит $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$.

Функция $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ определена при $\cos\alpha \neq 0$.

Функция $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ определена при $\sin\alpha \neq 0$.

В области допустимых значений, где $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$, справедливо тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.

Подставив это в исходное выражение, получим:

$3\sin^2\alpha - 2\tg\alpha \ctg\alpha = 3\sin^2\alpha - 2(1) = 3\sin^2\alpha - 2$.

Теперь найдем, какие значения может принимать $\sin^2\alpha$ с учетом ОДЗ.

В общем случае $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Однако из ОДЗ мы имеем ограничения:

• Так как $\sin\alpha \neq 0$, то $\sin^2\alpha \neq 0$.
• Так как $\cos\alpha \neq 0$, то $\cos^2\alpha \neq 0$. Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\sin^2\alpha \neq 1$.

Таким образом, для данного выражения значения $\sin^2\alpha$ находятся в открытом интервале $(0, 1)$, то есть $0 < \sin^2\alpha < 1$.

Рассмотрим значения выражения $3\sin^2\alpha - 2$. Так как $0 < \sin^2\alpha < 1$, то:

$3 \cdot 0 < 3\sin^2\alpha < 3 \cdot 1$

$0 < 3\sin^2\alpha < 3$

$0 - 2 < 3\sin^2\alpha - 2 < 3 - 2$

$-2 < 3\sin^2\alpha - 2 < 1$

Значения выражения лежат в интервале $(-2, 1)$. Поскольку концы интервала не включаются, выражение может принимать значения сколь угодно близкие к -2 и 1, но никогда их не достигает. Следовательно, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.