Номер 338, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 338, страница 244.

Учебник.

338. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + 1;$

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

3) $y = 1.5\sin x;$

4) $y = \cos \frac{x}{3};$

5) $y = 2\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1;$

6) $y = -\frac{1}{2}\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2.$

Решение 2.

1) $y = \sin x + 1$

Для построения графика этой функции необходимо взять за основу график стандартной функции $y = \sin x$ и выполнить его преобразование. Заданная функция имеет вид $y = f(x) + D$, где $f(x) = \sin x$ и $D = 1$. Это означает, что нужно выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика основной функции вверх.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \sin x$. Это синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, проходящая через начало координат. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$.
2. Сдвигаем построенный график на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переходит в точку $(x, y+1)$. Например, ключевые точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходят в точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ соответственно.

В результате мы получаем искомый график. Период и амплитуда не изменились ($T=2\pi$, амплитуда=1), а область значений сместилась на 1 вверх и стала $[0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 1$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$

Основой для построения является график функции $y = \cos x$. Заданная функция имеет вид $y = f(x - C)$, где $f(x) = \cos x$ и $C = -\frac{\pi}{6}$. Это означает, что нужно выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика основной функции по горизонтали. Поскольку $C$ отрицательно, сдвиг происходит влево.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \cos x$. Это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$. График проходит через точку $(0, 1)$.
2. Сдвигаем построенный график на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси абсцисс (Ox). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \cos x$ переходит в точку $(x - \frac{\pi}{6}, y)$. Например, ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ переходят в точки $(-\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{5\pi}{6}, -1)$ соответственно.

В результате получаем искомый график. Период, амплитуда и область значений не изменились.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.

3) $y = 1.5\sin x$

Основой для построения является график функции $y = \sin x$. Заданная функция имеет вид $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \sin x$ и $A = 1.5$. Это означает, что нужно выполнить растяжение графика основной функции от оси Ox.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \sin x$.
2. Растягиваем построенный график в 1.5 раза от оси абсцисс (Ox). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переходит в точку $(x, 1.5y)$. Ординаты всех точек графика умножаются на 1.5. Например, точки максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходят в $(\frac{\pi}{2}, 1.5)$, а точки минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходят в $(\frac{3\pi}{2}, -1.5)$. Точки пересечения с осью Ox остаются на месте.

В результате получаем искомый график. Период не изменился ($T=2\pi$), а амплитуда увеличилась до 1.5, и область значений стала $[-1.5, 1.5]$.

Ответ: График функции $y = 1.5\sin x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его растяжения в 1.5 раза от оси Ox.

4) $y = \cos \frac{x}{3}$

Основой для построения является график функции $y = \cos x$. Заданную функцию можно представить в виде $y = f(Bx)$, где $f(x) = \cos x$ и $B = \frac{1}{3}$. Это означает, что нужно выполнить растяжение графика основной функции вдоль оси Ox.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Растягиваем построенный график в 3 раза ($\frac{1}{B} = \frac{1}{1/3} = 3$) от оси ординат (Oy). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \cos x$ переходит в точку $(3x, y)$. Абсциссы всех точек графика умножаются на 3.

В результате этого преобразования период функции увеличивается в 3 раза и становится $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$. Амплитуда и область значений остаются прежними. Например, первый максимум после точки $(0,1)$ будет в точке $(2\pi \cdot 3, 1) = (6\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{3}$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его растяжения в 3 раза от оси Oy (вдоль оси Ox).

5) $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) - 1$

Для построения этого графика, за основу берется график $y = \sin x$ и выполняется последовательность преобразований:

1. Растяжение по вертикали: Строим график $y = 2\sin x$. Это график $y = \sin x$, растянутый в 2 раза от оси Ox. Амплитуда становится равной 2, область значений — $[-2, 2]$.
2. Сдвиг по горизонтали: Строим график $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Для этого график $y = 2\sin x$ сдвигается на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.
3. Сдвиг по вертикали: Строим итоговый график $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) - 1$. Для этого график $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ сдвигается на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

В результате всех преобразований, период функции остался $T=2\pi$. Амплитуда равна 2. Область значений стала $[-2-1, 2-1]$, то есть $[-3, 1]$. График колеблется вокруг прямой $y = -1$.

Ответ: График функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) - 1$ получается из графика $y = \sin x$ последовательным применением трех преобразований: растяжение в 2 раза от оси Ox, сдвиг на $\frac{\pi}{4}$ вправо и сдвиг на 1 вниз.

6) $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$

Для построения этого графика, за основу берется график $y = \cos x$ и выполняется последовательность преобразований:

1. Сжатие и отражение: Строим график $y = -\frac{1}{2}\cos x$. Для этого график $y = \cos x$ сжимается к оси Ox в 2 раза (амплитуда становится $\frac{1}{2}$), а затем отражается относительно оси Ox из-за знака "минус". Область значений становится $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
2. Сдвиг по горизонтали: Строим график $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3})$. Для этого график $y = -\frac{1}{2}\cos x$ сдвигается на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.
3. Сдвиг по вертикали: Строим итоговый график $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$. Для этого график $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3})$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

В результате всех преобразований, период функции остался $T=2\pi$. Амплитуда равна $\frac{1}{2}$. Область значений стала $[-\frac{1}{2}+2, \frac{1}{2}+2]$, то есть $[1.5, 2.5]$. График колеблется вокруг прямой $y = 2$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ получается из графика $y = \cos x$ последовательным применением преобразований: сжатие к оси Ox в 2 раза, отражение относительно оси Ox, сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево и сдвиг на 2 вверх.