Номер 328, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Прогрессии. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 328, страница 243.

328. При каком значении $x$ значения выражений $2x - 1$; $x + 1$ и $5 - x$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть выражения $b_1 = 2x - 1$, $b_2 = x + 1$ и $b_3 = 5 - x$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Для любой геометрической прогрессии справедливо характеристическое свойство: квадрат каждого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов ($b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$). Применим это свойство для наших выражений:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство заданные выражения и получим уравнение относительно $x$:

$(x + 1)^2 = (2x - 1)(5 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2x + 1 = 10x - 2x^2 - 5 + x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 1 = -2x^2 + 11x - 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x^2 + 2x - 11x + 1 + 5 = 0$

$3x^2 - 9x + 6 = 0$

Для удобства решения разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых данные выражения образуют геометрическую прогрессию. Теперь найдем члены этой прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. Если $x = 1$:

Подставим значение $x = 1$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:
$b_1 = 2(1) - 1 = 1$
$b_2 = 1 + 1 = 2$
$b_3 = 5 - 1 = 4$
Получаем последовательность: 1, 2, 4. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 2$.

2. Если $x = 2$:

Подставим значение $x = 2$ в исходные выражения:
$b_1 = 2(2) - 1 = 3$
$b_2 = 2 + 1 = 3$
$b_3 = 5 - 2 = 3$
Получаем последовательность: 3, 3, 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1$.

Ответ: При $x=1$ члены прогрессии равны 1, 2, 4. При $x=2$ члены прогрессии равны 3, 3, 3.