Номер 320, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 320, страница 243.

Учебник.

320. Сумма шестого и двадцать пятого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.

Решение 2.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Используя эту формулу, выразим шестой ($a_6$) и двадцать пятый ($a_{25}$) члены прогрессии:

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$

По условию задачи, их сумма равна 14:

$a_6 + a_{25} = 14$

Подставим полученные выражения в это уравнение:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 24d) = 14$

Сгруппируем и упростим:

$2a_1 + 29d = 14$

Теперь нам нужно найти сумму первых тридцати членов этой прогрессии ($S_{30}$). Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Применим эту формулу для $n=30$:

$S_{30} = \frac{2a_1 + (30-1)d}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30$

Мы уже знаем из предыдущего шага, что выражение в числителе $2a_1 + 29d$ равно 14. Подставим это значение в формулу для $S_{30}$:

$S_{30} = \frac{14}{2} \cdot 30$

Выполним вычисления:

$S_{30} = 7 \cdot 30 = 210$

Ответ: 210