Номер 315, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Прогрессии - номер 315, страница 243.

Учебник.

315. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 6, a_{14} = 45;$

2) $a_6 = 34, a_{14} = -54.$

Решение 2.

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Также нам понадобится формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. В обоих случаях нам нужно найти сумму первых десяти членов, т.е. $S_{10}$. Подставив $n=10$ в формулу суммы, получим: $S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 9d) \cdot 5$.

1)

По условию нам даны $a_1 = 6$ и $a_{14} = 45$. Нам уже известен первый член $a_1$. Теперь найдем разность прогрессии $d$.

Используем формулу n-го члена для $a_{14}$:

$a_{14} = a_1 + (14-1)d$

Подставим известные значения:

$45 = 6 + 13d$

Решим уравнение относительно $d$:

$13d = 45 - 6$

$13d = 39$

$d = \frac{39}{13} = 3$

Теперь, зная $a_1=6$ и $d=3$, можем вычислить сумму первых десяти членов $S_{10}$:

$S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 5(2 \cdot 6 + 9 \cdot 3) = 5(12 + 27) = 5 \cdot 39 = 195$.

Ответ: 195

2)

По условию нам даны $a_6 = 34$ и $a_{14} = -54$. В этом случае нам неизвестны ни первый член $a_1$, ни разность $d$. Найдем их, составив систему уравнений, используя формулу n-го члена.

Для $a_6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d \Rightarrow 34 = a_1 + 5d$

Для $a_{14}$: $a_{14} = a_1 + (14-1)d \Rightarrow -54 = a_1 + 13d$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 34 \\ a_1 + 13d = -54 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 13d) - (a_1 + 5d) = -54 - 34$

$8d = -88$

$d = \frac{-88}{8} = -11$

Теперь подставим значение $d=-11$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 5(-11) = 34$

$a_1 - 55 = 34$

$a_1 = 34 + 55 = 89$

Теперь, зная $a_1=89$ и $d=-11$, можем вычислить сумму $S_{10}$:

$S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 5(2 \cdot 89 + 9 \cdot (-11)) = 5(178 - 99) = 5 \cdot 79 = 395$.

Ответ: 395