Страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

304. Является ли обратимой функция:

1) $y = \sqrt[3]{x}$;

2) $y = x^4$, $x \in [1; +\infty);

3) $y = x^4$, $x \in [-2; 0];

4) $y = x^4$, $x \in [-2; +\infty)?

1) Для того чтобы функция была обратимой, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность: $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
При любом $x \neq 0$, выражение $x^2$ положительно, значит, и $\sqrt[3]{x^2}$ тоже положительно. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$. В точке $x=0$ функция непрерывна. Так как производная положительна везде, кроме одной точки, функция является строго возрастающей на всей области определения.
Поскольку функция строго монотонна, она обратима.
Ответ: Да, является.

2) Рассмотрим функцию $y = x^4$ на промежутке $x \in [1; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = (x^4)' = 4x^3$.
На заданном промежутке $x \ge 1$, поэтому $x^3 \ge 1$. Отсюда следует, что производная $y' = 4x^3 \ge 4 > 0$.
Так как производная функции строго положительна на всем промежутке $[1; +\infty)$, функция является строго возрастающей на этом промежутке.
Следовательно, функция обратима.
Ответ: Да, является.

3) Рассмотрим функцию $y = x^4$ на промежутке $x \in [-2; 0]$.
Производная функции: $y' = 4x^3$.
На заданном промежутке $x \in [-2; 0]$, значения $x$ неположительны. Если $x < 0$, то $x^3 < 0$, и производная $y' = 4x^3 < 0$. Если $x=0$, то $y'=0$.
Поскольку производная функции неположительна ($y' \le 0$) на всем промежутке и обращается в ноль лишь в одной точке (на конце интервала), функция является строго убывающей на этом промежутке.
Следовательно, функция обратима.
Ответ: Да, является.

4) Рассмотрим функцию $y = x^4$ на промежутке $x \in [-2; +\infty)$.
Для обратимости функция должна быть строго монотонной. Исследуем ее поведение на заданном промежутке с помощью производной $y' = 4x^3$.
На интервале $(-2; 0)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
На интервале $(0; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
Поскольку на заданном промежутке $[-2; +\infty)$ функция сначала убывает, а затем возрастает, она не является монотонной.
Например, можно найти два разных значения аргумента, которым соответствует одно и то же значение функции. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Оба значения принадлежат промежутку $[-2; +\infty)$.
$y_1 = (-1)^4 = 1$
$y_2 = (1)^4 = 1$
Так как $x_1 \neq x_2$, но $y_1 = y_2$, функция не является взаимно-однозначной, а значит, и не обратима.
Ответ: Нет, не является.

305. Найдите функцию, обратную данной:

1) $y = 3x + 5;$

2) $y = \frac{4}{x-1};$

3) $y = 2 + \sqrt{x-3};$

4) $y = x^2, x \in [2; +\infty).$

1) Дана функция $y = 3x + 5$.

Для нахождения обратной функции необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$ из данного уравнения. Этот процесс эквивалентен нахождению зависимости $x(y)$.

$y = 3x + 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$y - 5 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{y - 5}{3}$

Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде (где $y$ является функцией от $x$), поменяем местами переменные $x$ и $y$.

$y = \frac{x - 5}{3}$

Это и есть искомая обратная функция. Область определения и область значений исходной функции — все действительные числа. Следовательно, для обратной функции они также являются всеми действительными числами.

Ответ: $y = \frac{x-5}{3}$

2) Дана функция $y = \frac{4}{x-1}$.

Сначала найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ исходной функции.

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Область значений: так как числитель $4 \neq 0$, то и вся дробь не может быть равна нулю, $y \neq 0$. $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения:

$y(x-1) = 4$

$x-1 = \frac{4}{y}$

$x = \frac{4}{y} + 1$

$x = \frac{4+y}{y}$

Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{4+x}{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, т.е. $x \neq 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, т.е. $y \neq 1$.

Ответ: $y = \frac{x+4}{x}$

3) Дана функция $y = 2 + \sqrt{x-3}$.

Найдем область определения и область значений исходной функции.

Область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. $D(f) = [3; +\infty)$.

Область значений: значение квадратного корня неотрицательно, $\sqrt{x-3} \ge 0$. Следовательно, $y = 2 + \sqrt{x-3} \ge 2$. $E(f) = [2; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:

$y - 2 = \sqrt{x-3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо учесть, что левая часть должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня, то есть $y-2 \ge 0 \Rightarrow y \ge 2$. Это условие соответствует найденной области значений.

$(y-2)^2 = x-3$

$x = (y-2)^2 + 3$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$:

$y = (x-2)^2 + 3$

Область определения обратной функции — это область значений исходной функции, то есть $x \ge 2$.

Ответ: $y = (x-2)^2 + 3$, при $x \ge 2$

4) Дана функция $y = x^2$, где $x \in [2; +\infty)$.

Область определения функции задана условием: $D(f) = [2; +\infty)$.

Найдем область значений. Так как функция $y=x^2$ возрастает при $x \ge 0$, то на промежутке $[2; +\infty)$ наименьшее значение будет при $x=2$: $y(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, область значений $E(f) = [4; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^2$:

$x = \pm\sqrt{y}$

Согласно области определения исходной функции, $x \ge 2$. Это означает, что $x$ принимает только положительные значения, поэтому мы должны выбрать знак "плюс" перед корнем.

$x = \sqrt{y}$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $D(f^{-1}) = [4; +\infty)$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $E(f^{-1}) = [2; +\infty)$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \ge 4$

306. Функция g является обратной функции $f(x) = x^2 - 17, x \in (-\infty; 0)$.

Найдите $g(19)$.

По определению обратной функции, если функция $g$ является обратной к функции $f$, то равенство $g(y) = x$ эквивалентно равенству $f(x) = y$.

В задаче требуется найти $g(19)$. Обозначим искомое значение $x_0$, то есть $g(19) = x_0$.

Это означает, что мы ищем такое значение $x_0$, для которого выполняется $f(x_0) = 19$. При этом, согласно условию, значение $x_0$ должно принадлежать области определения функции $f$, то есть интервалу $(-\infty; 0)$.

Составим и решим уравнение, подставив $x_0$ в определение функции $f(x) = x^2 - 17$:
$f(x_0) = x_0^2 - 17 = 19$

Перенесем $-17$ в правую часть уравнения:
$x_0^2 = 19 + 17$
$x_0^2 = 36$

У этого квадратного уравнения есть два корня:
$x_0 = 6$ и $x_0 = -6$.

Теперь необходимо выбрать тот корень, который удовлетворяет условию $x_0 \in (-\infty; 0)$.
Корень $x_0 = 6$ не принадлежит этому интервалу, так как $6 > 0$.
Корень $x_0 = -6$ принадлежит этому интервалу, так как $-6 < 0$.

Следовательно, искомое значение $g(19)$ равно $-6$.

Ответ: $-6$

307. Найдите разность арифметической прогрессии $ (x_n) $, если:

1) $x_1 = 17, x_9 = -7;$

2) $x_5 = -3, x_{14} = 42.$

Для нахождения разности $d$ арифметической прогрессии $(x_n)$, зная два ее члена $x_k$ и $x_m$, используется формула, которая их связывает: $x_k = x_m + (k-m)d$. Из этой формулы можно выразить искомую разность:
$d = \frac{x_k - x_m}{k-m}$

1) Дано: $x_1 = 17$ и $x_9 = -7$.
Чтобы найти разность прогрессии, подставим известные значения в формулу. В данном случае $k=9$ и $m=1$.
$d = \frac{x_9 - x_1}{9-1} = \frac{-7 - 17}{8}$
Выполняем вычисления:
$d = \frac{-24}{8} = -3$
Ответ: -3

2) Дано: $x_5 = -3$ и $x_{14} = 42$.
Подставим известные значения в формулу. В данном случае $k=14$ и $m=5$.
$d = \frac{x_{14} - x_5}{14-5} = \frac{42 - (-3)}{9}$
Выполняем вычисления:
$d = \frac{42 + 3}{9} = \frac{45}{9} = 5$
Ответ: 5

308. Найдите первый член арифметической прогрессии $(y_n)$, если:

1) $y_{10} = -19$, $d = -2$;

2) $y_5 = 13$, $y_{16} = 46$.

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $y_1$ используется формула n-го члена: $y_n = y_1 + d(n-1)$, где $y_n$ — n-й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.
По условию задачи дано: $y_{10} = -19$ и $d = -2$.
Подставим эти значения в формулу для n=10:
$y_{10} = y_1 + d(10-1)$
$-19 = y_1 + (-2) \cdot 9$
$-19 = y_1 - 18$
Теперь найдем $y_1$, выразив его из уравнения:
$y_1 = -19 + 18$
$y_1 = -1$
Ответ: -1

2) В этом пункте даны два члена прогрессии: $y_5 = 13$ и $y_{16} = 46$. Чтобы найти первый член $y_1$, сначала необходимо найти разность прогрессии $d$.
Запишем формулу n-го члена для каждого из данных членов:
Для $n=5$: $y_5 = y_1 + d(5-1) \Rightarrow 13 = y_1 + 4d$
Для $n=16$: $y_{16} = y_1 + d(16-1) \Rightarrow 46 = y_1 + 15d$
Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y_1$ и $d$:
$\begin{cases} y_1 + 4d = 13 \\ y_1 + 15d = 46 \end{cases}$
Для решения системы вычтем из второго уравнения первое:
$(y_1 + 15d) - (y_1 + 4d) = 46 - 13$
$11d = 33$
Отсюда находим разность $d$:
$d = \frac{33}{11} = 3$
Теперь, зная $d$, подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы найти $y_1$:
$y_1 + 4(3) = 13$
$y_1 + 12 = 13$
$y_1 = 13 - 12$
$y_1 = 1$
Ответ: 1

309. Найдите номер члена арифметической прогрессии $(z_n)$, равного $3,2$, если $z_1 = 9,2$ и $d = -0,6$.

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии $(z_n)$ используется формула n-го члена:

$z_n = z_1 + (n-1)d$

где $z_n$ – значение n-го члена прогрессии, $z_1$ – первый член прогрессии, $d$ – разность прогрессии, а $n$ – номер искомого члена.

По условию задачи нам известны следующие значения:

• Значение искомого члена прогрессии: $z_n = 3,2$
• Первый член прогрессии: $z_1 = 9,2$
• Разность прогрессии: $d = -0,6$

Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$3,2 = 9,2 + (n-1) \cdot (-0,6)$

Сначала перенесем $9,2$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак:

$3,2 - 9,2 = (n-1) \cdot (-0,6)$

$-6 = (n-1) \cdot (-0,6)$

Теперь, чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $-0,6$:

$n-1 = \frac{-6}{-0,6}$

$n-1 = 10$

Наконец, найдем $n$, перенеся $-1$ в правую часть уравнения:

$n = 10 + 1$

$n = 11$

Таким образом, член арифметической прогрессии, равный 3,2, имеет номер 11.

Ответ: 11

310. Является ли число 24 членом арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 8$ и $d = 3$? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли число 24 членом арифметической прогрессии $(b_n)$, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), для которого выполняется равенство $b_n = 24$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 + (n-1)d$

По условию задачи нам известны первый член прогрессии $b_1 = 8$ и разность прогрессии $d = 3$. Подставим эти значения, а также значение $b_n = 24$ в формулу:

$24 = 8 + (n-1) \cdot 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$24 - 8 = (n-1) \cdot 3$

$16 = (n-1) \cdot 3$

Разделим обе части уравнения на 3:

$n - 1 = \frac{16}{3}$

Перенесем 1 в правую часть:

$n = \frac{16}{3} + 1$

$n = \frac{16}{3} + \frac{3}{3}$

$n = \frac{19}{3}$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом (т.е. целым и положительным). Поскольку мы получили дробное число $n = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$, которое не является натуральным, число 24 не может быть членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

311. Дана арифметическая прогрессия 4,9; 4,5; 4,1; .... Начиная с какого номера её члены будут отрицательными?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны первые три члена: $a_1 = 4,9$, $a_2 = 4,5$, $a_3 = 4,1$.

Для решения задачи необходимо найти разность арифметической прогрессии $d$ и затем определить, при каком номере $n$ член прогрессии $a_n$ станет меньше нуля.

1. Находим разность прогрессии $d$.

Разность арифметической прогрессии вычисляется как разница между любым последующим и предыдущим членом.

$d = a_2 - a_1 = 4,5 - 4,9 = -0,4$

Таким образом, разность прогрессии равна $-0,4$. Это убывающая прогрессия.

2. Составляем неравенство для нахождения номера отрицательного члена.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Мы ищем номер $n$, начиная с которого члены прогрессии будут отрицательными, то есть $a_n < 0$.

Подставим известные значения $a_1 = 4,9$ и $d = -0,4$ в неравенство:

$4,9 + (n-1)(-0,4) < 0$

3. Решаем неравенство относительно $n$.

$4,9 - 0,4(n-1) < 0$

$4,9 - 0,4n + 0,4 < 0$

$5,3 - 0,4n < 0$

Перенесем $0,4n$ в правую часть:

$5,3 < 0,4n$

Разделим обе части на $0,4$:

$n > \frac{5,3}{0,4}$

$n > \frac{53}{4}$

$n > 13,25$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным (целым и положительным) числом, наименьшее целое число, которое больше $13,25$, это $14$.

Следовательно, начиная с 14-го номера, члены данной арифметической прогрессии будут отрицательными.

Ответ: 14.

312. Найдите количество отрицательных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -30$, $d = 1.2$.

312.Для того чтобы найти количество отрицательных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, необходимо определить, для каких натуральных номеров $n$ будет выполняться неравенство $a_n < 0$.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
В условии задачи даны первый член прогрессии $a_1 = -30$ и её разность $d = 1.2$.
Подставим эти значения в неравенство $a_n < 0$:
$-30 + (n-1) \cdot 1.2 < 0$
Теперь решим это линейное неравенство относительно $n$:
$(n-1) \cdot 1.2 < 30$
Разделим обе части неравенства на $1.2$:
$n - 1 < \frac{30}{1.2}$
Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:
$n - 1 < \frac{300}{12}$
Выполним деление:
$n - 1 < 25$
Перенесём -1 в правую часть неравенства:
$n < 25 + 1$
$n < 26$
Так как номер члена прогрессии $n$ может быть только натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то этому условию удовлетворяют все натуральные числа от 1 до 25 включительно.
Таким образом, в прогрессии 25 отрицательных членов.
Для проверки можно найти 25-й и 26-й члены прогрессии:
$a_{25} = -30 + (25-1) \cdot 1.2 = -30 + 24 \cdot 1.2 = -30 + 28.8 = -1.2$. Это отрицательное число.
$a_{26} = -30 + (26-1) \cdot 1.2 = -30 + 25 \cdot 1.2 = -30 + 30 = 0$. Это число не является отрицательным.
Ответ: 25

313. При каком значении m значения выражений $3m - 1$, $m^2 + 1$ и $m + 3$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

По условию, выражения $3m - 1$, $m^2 + 1$ и $m + 3$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно.

Для любой арифметической прогрессии справедливо характеристическое свойство: каждый член прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим данные выражения в это свойство, чтобы найти значение $m$: $m^2 + 1 = \frac{(3m - 1) + (m + 3)}{2}$

Теперь решим полученное уравнение:
$2(m^2 + 1) = (3m - 1) + (m + 3)$
$2m^2 + 2 = 4m + 2$
$2m^2 - 4m = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$2m(m - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $m_1 = 0$ и $m_2 = 2$. Следовательно, существуют два значения $m$, при которых заданные выражения образуют арифметическую прогрессию. Найдем члены прогрессии для каждого из этих значений.

При $m = 0$:
Подставим $m = 0$ в исходные выражения:
$a_1 = 3(0) - 1 = -1$
$a_2 = 0^2 + 1 = 1$
$a_3 = 0 + 3 = 3$
Получаем последовательность: -1, 1, 3. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 2$.
Ответ: при $m = 0$ члены прогрессии равны -1, 1, 3.

При $m = 2$:
Подставим $m = 2$ в исходные выражения:
$a_1 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$
$a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
$a_3 = 2 + 3 = 5$
Получаем последовательность: 5, 5, 5. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $m = 2$ члены прогрессии равны 5, 5, 5.