Номер 305, страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 305, страница 242.

305. Найдите функцию, обратную данной:

1) $y = 3x + 5;$

2) $y = \frac{4}{x-1};$

3) $y = 2 + \sqrt{x-3};$

4) $y = x^2, x \in [2; +\infty).$

1) Дана функция $y = 3x + 5$.

Для нахождения обратной функции необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$ из данного уравнения. Этот процесс эквивалентен нахождению зависимости $x(y)$.

$y = 3x + 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$y - 5 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{y - 5}{3}$

Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде (где $y$ является функцией от $x$), поменяем местами переменные $x$ и $y$.

$y = \frac{x - 5}{3}$

Это и есть искомая обратная функция. Область определения и область значений исходной функции — все действительные числа. Следовательно, для обратной функции они также являются всеми действительными числами.

Ответ: $y = \frac{x-5}{3}$

2) Дана функция $y = \frac{4}{x-1}$.

Сначала найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ исходной функции.

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Область значений: так как числитель $4 \neq 0$, то и вся дробь не может быть равна нулю, $y \neq 0$. $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения:

$y(x-1) = 4$

$x-1 = \frac{4}{y}$

$x = \frac{4}{y} + 1$

$x = \frac{4+y}{y}$

Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{4+x}{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, т.е. $x \neq 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, т.е. $y \neq 1$.

Ответ: $y = \frac{x+4}{x}$

3) Дана функция $y = 2 + \sqrt{x-3}$.

Найдем область определения и область значений исходной функции.

Область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. $D(f) = [3; +\infty)$.

Область значений: значение квадратного корня неотрицательно, $\sqrt{x-3} \ge 0$. Следовательно, $y = 2 + \sqrt{x-3} \ge 2$. $E(f) = [2; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:

$y - 2 = \sqrt{x-3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо учесть, что левая часть должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня, то есть $y-2 \ge 0 \Rightarrow y \ge 2$. Это условие соответствует найденной области значений.

$(y-2)^2 = x-3$

$x = (y-2)^2 + 3$

Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$:

$y = (x-2)^2 + 3$

Область определения обратной функции — это область значений исходной функции, то есть $x \ge 2$.

Ответ: $y = (x-2)^2 + 3$, при $x \ge 2$

4) Дана функция $y = x^2$, где $x \in [2; +\infty)$.

Область определения функции задана условием: $D(f) = [2; +\infty)$.

Найдем область значений. Так как функция $y=x^2$ возрастает при $x \ge 0$, то на промежутке $[2; +\infty)$ наименьшее значение будет при $x=2$: $y(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, область значений $E(f) = [4; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^2$:

$x = \pm\sqrt{y}$

Согласно области определения исходной функции, $x \ge 2$. Это означает, что $x$ принимает только положительные значения, поэтому мы должны выбрать знак "плюс" перед корнем.

$x = \sqrt{y}$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $D(f^{-1}) = [4; +\infty)$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $E(f^{-1}) = [2; +\infty)$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \ge 4$