Номер 299, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 299, страница 241.

Учебник.

299. Даны функции $f(x) = x - 3$, $g(x) = (\sqrt{x-3})^2$ и $h(x) = \sqrt{(x-3)^2}$. Графики каких из этих функций совпадают?

Решение 2.

Для того чтобы определить, графики каких функций совпадают, необходимо сравнить эти функции. Две функции считаются тождественно равными (и, следовательно, их графики совпадают) только в том случае, если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны. Проанализируем каждую из заданных функций.

Анализ функции $f(x)$

Функция задана формулой $f(x) = x - 3$. Это линейная функция. Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Графиком функции является прямая линия.

Анализ функции $g(x)$

Функция задана формулой $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2$. Область определения этой функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Область определения: $D(g) = [3; +\infty)$.
На своей области определения функция упрощается: $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2 = x - 3$.
Графиком функции является луч, исходящий из точки $(3, 0)$.

Анализ функции $h(x)$

Функция задана формулой $h(x) = \sqrt{(x - 3)^2}$. Выражение под корнем, $(x - 3)^2$, является неотрицательным при любом действительном значении $x$, так как это квадрат действительного числа.
Область определения: $D(h) = (-\infty; +\infty)$.
Для упрощения функции используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$h(x) = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.
Графиком функции является "галочка" (V-образная линия), состоящая из двух лучей с общей начальной точкой в $(3, 0)$.

Сравнение функций и их графиков

1. Сравним $f(x)$ и $g(x)$.
Области определения этих функций различны: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а $D(g) = [3; +\infty)$. Поскольку области определения не совпадают, функции не являются тождественно равными, и их графики не совпадают. График функции $g(x)$ является частью графика функции $f(x)$ (лучом, а не всей прямой).

2. Сравним $f(x)$ и $h(x)$.
Области определения этих функций совпадают: $D(f) = D(h) = (-\infty; +\infty)$. Однако сами функции не равны. $f(x) = x - 3$, а $h(x) = |x - 3|$.
Например, при $x = 0$:
$f(0) = 0 - 3 = -3$
$h(0) = |0 - 3| = |-3| = 3$
Поскольку $f(0) \neq h(0)$, функции не равны, и их графики не совпадают.

3. Сравним $g(x)$ и $h(x)$.
Области определения этих функций различны: $D(g) = [3; +\infty)$, а $D(h) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, функции не равны, и их графики не совпадают.

Таким образом, ни одна из пар функций не является тождественно равной.
Ответ: Среди данных функций нет таких, графики которых совпадают.