Номер 299, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 299, страница 241.

299. Даны функции $f(x) = x - 3$, $g(x) = (\sqrt{x-3})^2$ и $h(x) = \sqrt{(x-3)^2}$. Графики каких из этих функций совпадают?

Для того чтобы определить, графики каких функций совпадают, необходимо сравнить эти функции. Две функции считаются тождественно равными (и, следовательно, их графики совпадают) только в том случае, если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны. Проанализируем каждую из заданных функций.

Анализ функции $f(x)$

Функция задана формулой $f(x) = x - 3$. Это линейная функция. Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Графиком функции является прямая линия.

Анализ функции $g(x)$

Функция задана формулой $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2$. Область определения этой функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Область определения: $D(g) = [3; +\infty)$.
На своей области определения функция упрощается: $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2 = x - 3$.
Графиком функции является луч, исходящий из точки $(3, 0)$.

Анализ функции $h(x)$

Функция задана формулой $h(x) = \sqrt{(x - 3)^2}$. Выражение под корнем, $(x - 3)^2$, является неотрицательным при любом действительном значении $x$, так как это квадрат действительного числа.
Область определения: $D(h) = (-\infty; +\infty)$.
Для упрощения функции используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$h(x) = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.
Графиком функции является "галочка" (V-образная линия), состоящая из двух лучей с общей начальной точкой в $(3, 0)$.

Сравнение функций и их графиков

1. Сравним $f(x)$ и $g(x)$.
Области определения этих функций различны: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а $D(g) = [3; +\infty)$. Поскольку области определения не совпадают, функции не являются тождественно равными, и их графики не совпадают. График функции $g(x)$ является частью графика функции $f(x)$ (лучом, а не всей прямой).

2. Сравним $f(x)$ и $h(x)$.
Области определения этих функций совпадают: $D(f) = D(h) = (-\infty; +\infty)$. Однако сами функции не равны. $f(x) = x - 3$, а $h(x) = |x - 3|$.
Например, при $x = 0$:
$f(0) = 0 - 3 = -3$
$h(0) = |0 - 3| = |-3| = 3$
Поскольку $f(0) \neq h(0)$, функции не равны, и их графики не совпадают.

3. Сравним $g(x)$ и $h(x)$.
Области определения этих функций различны: $D(g) = [3; +\infty)$, а $D(h) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, функции не равны, и их графики не совпадают.

Таким образом, ни одна из пар функций не является тождественно равной.
Ответ: Среди данных функций нет таких, графики которых совпадают.