Номер 302, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 302, страница 241.

302. Вершина параболы $y = (x+a)^2+b$ лежит в третьей координатной четверти. Укажите верное утверждение:

1) $a > 0, b > 0;$

2) $a > 0, b < 0;$

3) $a < 0, b > 0;$

4) $a < 0, b < 0.$

Уравнение параболы $y = (x + a)^2 + b$ представлено в вершинной форме. Общий вид такого уравнения $y = k(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — это координаты вершины параболы.

Сравнивая заданное уравнение с общей формой, определим координаты вершины.Абсцисса вершины $x_v$ находится из соотношения $x - x_v = x + a$, из которого следует, что $x_v = -a$.Ордината вершины $y_v$ равна $b$.Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-a, b)$.

В условии сказано, что вершина параболы лежит в третьей координатной четверти. Для любой точки $(x, y)$, расположенной в третьей четверти, обе её координаты должны быть отрицательными, то есть $x < 0$ и $y < 0$.

Применяя это правило к координатам вершины $(-a, b)$, мы получаем систему из двух неравенств:$ \begin{cases} -a < 0 \\ b < 0 \end{cases}$

Теперь решим эту систему.Из первого неравенства $-a < 0$, умножив обе его части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получаем $a > 0$.Второе неравенство $b < 0$ уже даёт нам условие для $b$.

Следовательно, для того чтобы вершина параболы находилась в третьей координатной четверти, должны выполняться условия $a > 0$ и $b < 0$.

Среди предложенных вариантов ответа этому результату соответствует вариант под номером 2.

Ответ: 2) $a > 0, b < 0;$