Номер 295, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 295, страница 241.

295. Найдите наименьшее значение функции $y = 1.5x^2 - 6x + 1$ на промежутке:

1) $[-4; 1]$;

2) $[-3; 1]$;

3) $[4; 6]$.

Данная функция $y = 1,5x^2 - 6x + 1$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1,5) положителен. Это означает, что наименьшее значение на всей числовой прямой функция принимает в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1,5} = \frac{6}{3} = 2$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции на всей области определения) равна:

$y_0 = y(2) = 1,5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 1 = 1,5 \cdot 4 - 12 + 1 = 6 - 12 + 1 = -5$.

Теперь найдем наименьшее значение функции на каждом из заданных промежутков. Для этого нужно сравнить значения функции на концах промежутка и в точке вершины, если она попадает в этот промежуток.

1) [-4; 1]

Вершина параболы $x_0 = 2$ не принадлежит промежутку $[-4; 1]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится правее данного промежутка ($2 > 1$), то на отрезке $[-4; 1]$ функция является монотонно убывающей. Следовательно, свое наименьшее значение она будет принимать на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 1$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y(1) = 1,5 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 1,5 - 6 + 1 = -3,5$.

Для проверки найдем значение на левом конце промежутка:

$y(-4) = 1,5 \cdot (-4)^2 - 6 \cdot (-4) + 1 = 1,5 \cdot 16 + 24 + 1 = 24 + 24 + 1 = 49$.

Наименьшее значение на отрезке $[-4; 1]$ равно -3,5.

Ответ: -3,5

2) [-3; 1]

Вершина параболы $x_0 = 2$ также не принадлежит промежутку $[-3; 1]$. Аналогично первому случаю, функция на этом отрезке является убывающей, и наименьшее значение достигается в точке $x = 1$.

Значение функции в этой точке мы уже вычислили:

$y(1) = -3,5$.

Найдем значение на левом конце промежутка:

$y(-3) = 1,5 \cdot (-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 1 = 1,5 \cdot 9 + 18 + 1 = 13,5 + 18 + 1 = 32,5$.

Наименьшее значение на отрезке $[-3; 1]$ равно -3,5.

Ответ: -3,5

3) [4; 6]

Вершина параболы $x_0 = 2$ не принадлежит промежутку $[4; 6]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее данного промежутка ($2 < 4$), то на отрезке $[4; 6]$ функция является монотонно возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она будет принимать на левом конце промежутка, то есть в точке $x = 4$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y(4) = 1,5 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 + 1 = 1,5 \cdot 16 - 24 + 1 = 24 - 24 + 1 = 1$.

Найдем значение на правом конце промежутка для сравнения:

$y(6) = 1,5 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 1 = 1,5 \cdot 36 - 36 + 1 = 54 - 36 + 1 = 19$.

Наименьшее значение на отрезке $[4; 6]$ равно 1.

Ответ: 1